2.5.3. СЛУЧАЙ МНОГОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ

В данном разделе вернемся к случаю, когда входная, управляемая и эталонная переменные являются многомерными, и обобщим принципы проектирования, сформулированные в разд. 2.5.2.

Из рассмотрения среднего значения квадрата ошибки слежения в виде (2.58) становится очевидным, что принцип проектирования 2.2 следует модифицировать в том смысле, что выражение

должно быть малым для всех действительных что при ненулевых заданных рабочих точках должно быть малым выражение

Очевидно, что это условие выполняется, если равно единичной матрице для всех частот. Достаточно, однако, чтобы было близким к единичной матрице на всех частотах, для которых значительно отличается от нуля. Чтобы более строго обосновать это утверждение, нужно принять следующие допущения.

1. Переменная часть эталонной переменной является стохастическим процессом с некоррелированными компонентами, для которого матрица спектральной плотности энергии может быть выражена в виде

2. Постоянная часть эталонной переменной является стохастической величиной с некоррелированными компонентами, так что ее матрица моментов сторрго порядка может быть выражена в виде

С практической точки зрения эти допущения не накладывают существенных ограничений. Используя (2.93) и (2.94), нетрудно найти, что установившееся среднее значение квадрата ошибки слежения может быть выражено в виде

где

обозначает диагональный элемент матрицы

Рассмотрим теперь один из членов правой части выражения (2.95):

Выражение (2.97) описывает составляющую ошибки слежения от компоненты эталонной переменной при прохождении ее через систему. В связи с этим удобно ввести следующее понятие.

Определение 2.4. Пусть есть -матричная передаточная функция асимптотически устойчивой линейной системы управления с постоянными параметрами. Определим полосу частот звена системы управления как множество частот для которых

Здесь — заданное число, малое по сравнению с весовая матрица для среднего значения квадрата ошибки слежения, а обозначает диагональный элемент матрицы

Установив полосу частот звена, можно, конечно, определить полосу пропускания и частоту среза звена, если они существуют, как это было сделано в определении 2.2. Заметим, что определение 2.4 также справедливо для недиагональной весовой матрицы Причиной, по которой величина

сравнивается с заключается в том, что имеет смысл сравнивать составляющую (2.97) от компоненты эталонной переменной в среднем значении квадрата ошибки слежения с составляющей в отсутствие управления, т. е. при Эта последняя составляющая определяется выражением

Нормированную функцию будем рассматривать как разностную функцию звена. В случае скалярных входной и выходной переменных эта функция равна

Расширим теперь принцип проектирования следующим образэм.

Принцип проектирования Пусть есть -матричная передаточная функция асимптотически устойчивой линейной

системы управления с постоянными параметрами, для которой как постоянная, так и переменная части эталонной переменной имеют некоррелированные компоненты. Тогда для обеспечения малого установившегося значения среднего квадрата ошибки слежения полоса частот каждого из звеньев должна содержать по возможности большую часть полосы частот соответствующей компоненты эталонного сигнала. Если компонента, эталонной переменной имеет ненулевую заданную рабочую точку, значение должно быть сделано малым по сравнению с .

Уточняя это правило, можно показать, что если составляющая выражения от какого-либо одного члена в выражении (2.95) много больше, чем составляющая от остальных членов, то указанный принцип проектирования должен быть применен в большей степени к соответствующему звену, чем к другим звеньям.

Имея в виду допущения 1 и 2, имеет смысл предположить, что весовая матрица диагональная, т. е.

Тогда можно написать

где обозначает элемент матрицы . Отсюда видно, что полоса частот звена определяется столбцом передаточной функции

Легко заметить, особенно в случае, когда матрица диагональная, что принцип проектирования требует от элементов частотной характеристики чтобы они были близки к 1 в соответствующей полосе частот, тогда как недиагональные элементы должны быть достаточно малыми. Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, т. е. матрица диагональная, говорят, что система управления является полностью развязанной. О системе, не полностью развязанной, говорят, что она испытывает взаимовлияние. Хорошо спроектированная система характеризуется малым взаимовлиянием. Систему управления, у которой матрица диагональная, будем называть статически развязанной.

В заключение рассмотрим установившееся среднее значение квадрата входной переменной. Если компоненты эталонной переменной не коррелированы (допущения 1 и 2), то можно написать

где диагональный элемент матрицы Отсюда непосредственно вытекает следующий принцип проектирования.

Принцип проектирования Для получения малого установившегося среднего значения квадрата входной переменной в асимптотически устойчивой линейной системе управления с постоянными параметрами и -мерной эталонной переменной с некоррелированными компонентами необходимо, чтобы выражение

принимало малые значения в полосе частот компоненты эталонной переменной при .

Снова, как и в принципе 2.3, не накладывается специальных ограничений на выражение даже если компоненты эталонной переменной может быть ненулевая заданная точка, поскольку необходимо ограничивать флуктуации только относительно заданной точки.

Пример 2.8. Управление смесительным бакам

Поставим задачу управления смесительным баком, описанным в примере 2.2 (разд. 2.2.2). Линеаризованное уравнение состояния, полученное в примере 1.2 (разд. 1.2.3), имеет вид

В качестве компонент управляемой переменной выберем расход и концентрацию выходного потока, поэтому напишем

Таким образом, компонентами эталонной переменной являются — желаемые выходной расход и выходная концентрация соответственно.

Рассмотрим следующий простой регулятор. Если выходной расход слишком мал, будем регулировать расход потока 1 пропорционально разности между действительным и желаемым

расходами; таким образом, положим

Однако, если выходная концентрация отличается от желаемого значения, расход потока 2 регулируется следующим образом:

На рис. 2.20 показана блок-схема системы управления. Ожидается, что эта схема окажется работоспособной, так как поток 2 имеет более высокую концентрацию, чем поток 1; таким образом, концентрация более чувствительна к регулированию второго потока. В результате, расходом первого потока более удобно регулировать выходной расход. Однако, поскольку расход второго потока также воздействует на выходной расход, а расход первого потока — на его концентрацию, в этой схеме неизбежным оказывается определенное взаимовлияние.

В рассматриваемой схеме управления матричные передаточные функции, указанные на рис. 2.14, могут быть представлены в виде

В примере 1.17 (разд. 1.5.4) было найдено, что характеристический полином замкнутой системы имеет вид

откуда следует, что замкнутая система асимптотически устойчива для всех положительных значений коэффициентов

Передаточная функция системы может быть представлена с помощью выражения

(кликните для просмотра скана)

В результате получим

Нетрудно видеть, что, если одновременно устремляются к бесконечности, выражение стремится к нулю и обеспечивается слежение, близкое к идеальному.

Матричная передаточная функция может быть найдена в виде

Если одновременно приближаются к бесконечности, то

откуда следует, что установившееся среднее значение квадрата входной переменной Сиоа будет бесконечно большим, если элементы матрицы уменьшаются не достаточно быстро с увеличением .

Чтобы найти приемлемые значения коэффициентов применим принцип проектирования и попытаемся определить Такие значения при которых полосы частот двух звеньев системы содержат полосы частот эталонной переменной. Однако является сложной задачей, и для решения ее используем метод проб и ошибок, который является типичным методом решения задач управления в многомерных системах. Этот подход заключается в следующем. При определении допускаем, что вторая обратная связь еще не Подключена. Аналогично при определении допускаем, что первая обратная связь разомкнута. Таким образом, получены две системы с одномерными входной и выходной переменными, для которых решение задачи синтеза упрощается. Затем анализируется система управления с обеими

обратными связями, и, если необходимо, процесс проектирования повторяется.

Если размыкается вторая обратная связь, то передаточная функция от первой входной переменной до первой управляемой переменной равна

Пропорциональная обратная связь, согласно (2.106), дает передаточную функцию от до в виде

Очевидно, что частотная характеристика в нуле отличается от 1; это можно исправить включением коэффициента в цепи первой компоненты эталонной переменной следующим образом:

Тогда передаточная функция (2.115) приводится к виду

Для каждого значения можно выбрать такое что частотная характеристика в нуле будет равна 1. Теперь значение зависит только от желаемой частоты среза. При -ная частота среза равна 0,011 рад/с (табл. 2.1). Допустим, что этого достаточно для удовлетворения требований, предъявляемых системе управления. Тогда для должно быть выбрано значение 1,1.

Изучая аналогичным образом второе звено, можно найти, что при управлении

передаточная функция замкнутой системы от до (в предположении, что первая обратная связь разомкнута) равна

частотная характеристика в нуле равна 1, а -ная частота среза составляет

Исследуем теперь работу многомерной системы управления, где

Можно показать, что передаточная функция системы управления равна

тогда

Теперь, чтобы определить полосы частот двух звеньев системы управления, сначала необходимо выбрать весовую матрицу Двумя управляемыми переменными являются выходной расход и выходная концентрация. Расход имеет постоянное номинальное значение тогда как постоянное номинальное значение концентрации равно Поэтому -ное изменение расхода соответствует а -ное изменение концентрации Предположим теперь, что весовая матрица диагональная с элементами и а -ные изменения в расходе либо в концентрации дают одинаковые составляющие среднего значения квадрата ошибки слежения. Тогда получаем

или

Поэтому выберем

Поскольку матрица диагональная, можно использовать выражение (2.101) для определения полосы частот эвена. Полоса частот первого звена (цепи расхода), таким образом, определяется из рассмотрения неравенства

После преобразований получим

На рис. 2.21 показан график логарифмической частотной характеристики для левой части неравенства (2.128), что точно соответствует разностной функции первого звена.

Рис. 2.21. Разностные функции первого и второго звеньев системы управления смесительным баком.

Очевидно, что величина не может быть выбрана произвольно малой, поскольку левая часть неравенства (2.128) ограничена снизу. Горизонтальная часть кривой в области низких частот главным образом обусловлена вторым членом числителя левой части неравенства (2.128), который образуется из недиагонального элемента в первом столбце матрицы Этот элемент характеризует часть взаимовлияния, существующего в системе.

Рассмотрим теперь второе звено (цепь концентрации). Его полоса частот определяется из неравенства

После преобразований получим

Рис. 2.22. Матрица реакций на ступенчатое воздействие системы управления смесительным баком.

Слева — реакции выходного расхода и концентрации на ступенчатое изменение расхода справа — реакции выходного расхода и концентрации на ступенчатое изменение концентрации

Логарифмическая частотная характеристика, соответствующая левой части неравенства (2.130), которая является разностной функцией второго звена, также показана на рис. 2.21. В этом случае горизонтальная часть кривой в области низких частот также обусловлена взаимовлиянием в системе. Если требования к не слишком жесткие, то значение частоты среза второго звена составляет

Полученные частоты среза с приемлемой точностью близки к частотам среза отдельных контуров (0,011 и Более того, оказывается, что взаимовлияние в системе невелико. В заключение на рис. 2.22 представлены графики элементов матрицы переходных функций. Графики подтверждают, что система обнаруживает умеренное взаимовлияние (и динамическое, и статическое). Каждое звено имеет переходную функцию системы первого порядка с постоянной времени, приблизительно равной 10 с.

Грубое представление об амплитуде входной переменной может быть получено следующим образом. Из выражения (2.116) находим, что ступенчатое изменение расхода на (типовая

величина) приводит в результате к изменению начального расхода потока 1 на Аналогично ступенчатое изменение концентрации на приводит в результате к изменению начального расхода потока 2 на . В сравнении с номинальными величинами расходов входящих потоков (соответственно 0,015 и эти величины слишком большие, откуда следует, что либо должна быть выбрана меньшая амплитуда скачка входной переменной, либо должна быть более плавной желаемая переходная характеристика. Последнее можно обеспечить, проектируя систему с меньшей полосой пропускания.

В задаче 2.2 рассматривается более сложный вариант регулятора смесительного бака.