2.4. Устойчивость систем управления

В предыдущем разделе были введены функции как меры качества системы управления. Поскольку, вообще говоря, ожидается, что система управления будет функционировать в течение продолжительного времени, по крайней мере следует потребовать, чтобы функции оставались ограниченными при увеличении . Это непосредственно приводит к необходимости исследования устойчивости системы управления.

Если система управления является неустойчивой, то рано или поздно некоторые переменные начнут неограниченно возрастать, что, конечно, является неприемлемым в любой системе управления, которая функционирует на некотором интервале времени (т. е. в течение периода, большего, чем постоянная времени возрастающего экспоненциала). Если система управления неустойчива, то или либо обе функции неограниченно возрастают. Таким образом, приходим к следующему принципу проектирования.

Принцип проектирования 2.1. Система управления должна быть асимптотически устойчивой.

В предположении о постоянстве параметров системы управления принцип проектирования 2.1 эквивалентен требованию, чтобы все характеристические числа расширенной системы (2.13), т. е. характеристические числа матрицы

имели строго отрицательные действительные части. В соответствии с теоремой 1.21 (разд. 1.5.4) характеристический полином матрицы (2.31) можно записать в виде

где матричная передаточная функция от входной переменной и до наблюдаемой переменной у обозначается через

а

есть матричная передаточная функция регулятора от у до .

Одной из функций регулятора является перемещение полюсов объекта на лучшие местоположения в левой комплексной полуплоскости, чтобы таким образом достичь улучшения качества системы.

Если сам объект неустойчив, то главной задачей регулятора является стабилизация системы посредством передвижения полюсов замкнутой системы в соответствующие места левой комплексной полуплоскости (пример 2.6).

Пример 2.5. Система управления положением

Исследуем устойчивость системы управления с позиционной обратной связью нулевого порядка, предложенной для перемещения антенны из примера 2.4 (вариант I). Передаточная функция объекта (передаточная функция от управляющего напряжения до положения антенны) задана в виде

Передаточная функция регулятора равна

В соответствии с (2.32) полюса замкнутой системы являются корнями выражения

Рис. 2.12. Корневой годограф системы управления положением. - годограф системы второго порядка; — модификация годографа из-за наличия полюса в точке .

На рис. 2.12 показан корневой годограф полюсов замкнутой системы, где — параметр, а численные значения остальных параметров взяты из (2.22).

Видно, что в идеальном случае система управления устойчива при всех положительных значениях На практике, однако, при больших X система становится неустойчивой. Причина этого, кроме всего прочего, заключается в том, что не была учтена электрическая постоянная времени Те двигателя. С учетом ее передаточная функция системы двигатель — антенна записывается следующим образом:

В результате характеристический полином замкнутой системы приобретает вид

На рис. 2.12 показана модификация корневого годографа при значении

Для , где

замкнутая система является неустойчивой. В данном случае .

Пример 2.6. Стабилизация перевернутого маятника

В качестве примера неустойчивого объекта рассмотрим перевернутый маятник из примера 1.1 (разд. 1.2.3). Из примера 1.16 (разд. 1.5.4) было видно, что с помощью обратной связи по углу посредством регулятора нулевого порядка вида

невозможно стабилизировать систему при любых значениях коэффициента Однако можно стабилизировать систему с помощью обратной связи по полному состоянию а именно

Здесь к — постоянная вектор-строка, которую требуется найти. Заметим, что построение этого регулятора требует измерения всех четырех переменных состояний.

В примере 1.1 было получено линеаризованное дифференциальное уравнение состояния системы, которое имеет вид

где — вектор-столбец. Подставляя (2.43), имеем

или

Устойчивость этой системы определяется характеристическими числами матрицы . В гл. 3 обсуждаются методы определения. оптимальных регуляторов вида (2.43), которые стабилизируют систему. Используя эти методы, при численных значениях параметров из примера 1.1 можно найти, например, что

стабилизирует линеаризованную систему. При таком к характеристические числа замкнутой системы равны

Для исследования устойчивости реальной (нелинейной) замкнутой системы рассмотрим нелинейные уравнения состояния

где компоненты и определяются так же, как и в линеаризованных уравнениях. Подстановка выражения (2.43) для в (2.48) приводит к дифференциальному уравнению состояния замкнутой системы. На рис. 2.13 показаны реакции замкнутой системы по углу при различных начальных значениях и нулевых начальных условиях по другим координатам. При движение не отличается от движения, которое было найдено для линеаризованной системы. При имеет место некоторое отклонение, тогда как при значения (2.47) не обеспечивают стабилизацию системы.

Рис. 2.13. Поведение угла в стабилизированном перевернутом маятнике, .

Этот пример также иллюстрирует теорему 1.16 (разд. 1.4.4), которая устанавливает, что если линеаризованная система является асимптотически устойчивой, то нелинейная система, из которой она получена, также асимптотически устойчивая. Очевидно, что в настоящем случае диапазон, в котором линеаризация дает положительные результаты, достаточно велик.