§ 2. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией. Обозначение:

2. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой

3. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию достаточно знать ее первый член и разность

4. Если разность арифметической прогрессии — положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.

5. Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е.

6. Формула члена арифметической прогрессии имеет вид:

7. Формула суммы первых членов арифметической прогрессии имеет вид:

8. Если в формулу (3) подставить вместо его выражение по формуле (2), то получим соотношение

9. Из определения разности арифметической прогрессии следует, что , т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Найти пятнадцатый член арифметической прогрессии:

Решение. 1) Дано: Найдем разность арифметической прогрессии: По формуле (2)

2) Дано: Найдем разность данной прогрессии:

2. Разность арифметической прогрессии равна 4, сумма первых ее семи членов равна 105. Найти первый и седьмой члены этой прогрессии.

Решение. Дано:

Подставив заданные значения переменных в формулы получим Составим систему:

Сначала сложим почленно оба равенства, а затем вычтем почленно из второго равенства первое. Получим

3. Найти первый член арифметической прогрессии и количество членов если

Решение. Подставив заданные значения из условия задачи в формулы получим систему уравнений:

Из первого уравнения системы найдем Подставив это выражение вместо во второе уравнение, получим:

Решив квадратное уравнение, найдем два значения Значение не удовлетворяет условию задачи, так как должно быть натуральным числом.

При находим

4. Между числами 17 и 32 вставить пять таких чисел, чтобы они вместе с данными числами составили арифметическую прогрессию.

Решение. Дано: Задача сводится к определению разности прогрессии по формуле

Найдем искомые числа и запишем прогрессию: 17; 19,5; 22; 24,5; 27; 29,5; 32.

5. Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии если

Решение. Согласно свойству арифметической прогрессии имеем Следовательно,

Теперь по формуле (3) находим:

6. Последовательность задана формулой ее члена: Доказать, что арифметическая прогрессия.

Доказательство. Для доказательства воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии. Имеем поэтому

— арифметическая прогрессия.

7. Найти арифметическую прогрессию, если

Решение. Согласно условию получаем систему уравнений:

Получили прогрессию

8. Найти сумму всех двузначных натуральных чисел. Решение. Дано: По формуле (2) найдем номер последнего члена:

По формуле (3) найдем сумму всех двузначных чисел:

9. Решить уравнение и слагаемые являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Решение. Левая часть уравнения представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, в которой Найдем откуда

Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, имеем:

(не удовлетворяют уравнению, так как ). Итак,

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)