§ 4. СУММА БЕСКОНЕЧНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ПРИ |q|<1

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Пусть — геометрическая прогрессия со знаменателем где Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию называется предел суммы первых ее членов при

2. Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через Тогда справедлива формула

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Найти сумму бесконечной прогрессии

Решение. По формуле получим

Рис. 95

2. Обратить периодическую дробь в обыкновенную.

Решение. Данную дробь можно записать в виде

Выражение в скобках представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии, у которой Следовательно,

3. В равносторонний треугольник со стороной а вписан новый треугольник, вершинами которого служат середины сторон данного треугольника; в этот треугольник тем же способом вписан новый треугольник и т. д. (рис. 95). Доказать, что последовательность площадей полученных треугольников является геометрической прогрессией, и найти сумму их площадей.

Решение. Находим:

т. е. это отношение есть величина постоянная. Следовательно, — геометрическая прогрессия (по определению).

Так как

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)