ГЛАВА X

§ 1. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Уравнение вида где х — переменная, — некоторые числа, причем называется квадратным.

2. В квадратном уравнении коэффициент а называют первым коэффициентом, — вторым коэффициентом, с — свободным членом.

3. Формула корней квадратного уравнения имеет вид:

4. Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой

5. Если то существует только одно значение переменной, удовлетворяющее уравнению Однако условились говорить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, а само число называют корнем кратности два.

6. Если то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

7. Если то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

8. Пусть дано квадратное уравнение Так как то, разделив обе части данного уравнения на а, получим уравнение Полагая приходим к уравнению в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведенным.

9. Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет вид:

10. Уравнения вида называются неполными квадратными уравнениями.

11. Уравнение вида называется биквадратным. С помощью замены переменной по формуле оно приводится к квадратному уравнению

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Решить уравнение:

Решение. 1) Найдем дискриминант: Применим формулу корней квадратного уравнения:

Отсюда

2) Найдем дискриминант: Применим формулу корней квадратного уравнения: Отсюда

3) Найдем дискриминант: Так как дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет корней.

4) Уравнение можно решить двумя способами.

1-й способ. Преобразуем левую часть уравнения, получим:

2-й способ. Найдем дискриминант: Применим формулу корней квадратного уравнения . Отсюда Таким образом, уравнение имеет единственный корень:

5) Применим формулу корней для приведенного квадратного уравнения: Отсюда

2. Решить уравнение:

Решение. 1) Чтобы решить данное неполное квадратное уравнение, разложим его левую часть на множители. Получим

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: или Решая уравнение находим

Следовательно, произведение обращается в нуль при и при Поэтому числа 0 и - являются корнями уравнения

2) Разложим левую часть на множители. Получим:

Значит, или Решая уравнение находим, что Числа 0 и 2,5 являются корнями уравнения

3) Чтобы решить такое уравнение, перенесем в его правую часть свободный член с противоположным знаком и разделим обе части уравнения на 3. Получим уравнение равносильное уравнению

Так как то уравнение не имеет корней.

Замечание. Данное уравнение можно решить иначе. Так как то сумма неотрицательного и положительного чисел не может быть числом, равным нулю. Следовательно, уравнение не имеет корней.

3. Решить уравнение:

Решение. При решении дробных уравнений целесообразно поступать следующим образом:

— найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая дробь имеет смысл;

— заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

— решить получившееся целое уравнение;

— исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

1) Воспользуемся основным свойством дроби и представим левую и правую части этого уравнения в виде дробей с одинаковым знаменателем:

Эти дроби равны при тех и только тех значениях, при которых равны их числители, а знаменатель отличен от нуля. Если знаменатель равен нулю, то дроби, а следовательно, и уравнение не имеет смысла.

Таким образом, чтобы найти корни данного уравнения, нужно решить уравнение

Упростив уравнение (2), получим:

Решим уравнение (3):

Найденные корни не обращают знаменатель в нуль, поэтому они являются корнями исходного уравнения.

2) Найдем общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

Общий знаменатель — выражение Заменим уравнение (1) целым. Для этого умножим обе его части на общий знаменатель, получим:

Выполним необходимые преобразования в уравнении (2), придем к квадратному уравнению . Его корни:

Если .

Следовательно, числа —3 и 3 не являются корнями уравнения (1), а потому данное уравнение решений не имеет.

3) Найдем общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. Для этого знаменатели дробей разложим на множители:

Общий знаменатель — выражение Заменим уравнение (1) целым, умножив обе его части на общий знаменатель, получим:

Выполнив преобразования, придем к квадратному уравнению

Корни уравнения (3):

Если то если то Следовательно, числа —4 и 9 — корни данного уравнения.

4. Решить уравнение:

Решение. 1) Уравнение является биквадратным. Для того чтобы решить его, выполним замену, обозначив через у. Получим квадратное уравнение с переменной у

Решив его, найдем Значит,

Из уравнения находим, что

Из уравнения находим, что

Итак, данное уравнение имеет четыре корня:

2) Пусть Тогда данное уравнение примет вид Решив его, найдем, что . Поэтому или

Уравнение , или не имеет корней.

Уравнение или имеет два корня:

Итак, данное уравнение имеет два корня:

3) Перепишем данное уравнение в виде

Пусть тогда уравнение (1) примет вид откуда

Решив его, найдем Значит, или

Уравнение корней не имеет, так как

Уравнение имеет корни

Получили, что данное уравнение имеет два корня:

Введем новую переменную, обозначив Получим уравнение с переменной у:

Корни этого уравнения: Значит, или

Из уравнения находим, что

Из уравнения находим, что

Итак, данное уравнение имеет четыре корня:

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)