§ 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Функция, заданная формулой , где и — некоторые числа, называется линейной.

2. Областью определения линейной функции служит множество всех действительных чисел, так как выражение имеет смысл при любых значениях х.

3. График линейной функции есть прямая линия. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек, например , если

4. Коэффициент характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением оси (рис. 24), поэтому называется угловым коэффициентом. Если то этот угол острый; если — тупой; если то прямая совпадает с осью

5. График функции может быть также построен с помощью параллельного переноса графика функции (см. § 1, п. 4).

6. Уравнение вида называется линейным. Для того чтобы решить линейное уравнение графически, достаточно построить график функции и найти точку его пересечения с осью (на рис. 25 — корень уравнения).

Рис. 24

Рис. 25

Рис. 26

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Построить график функции:

Решение. 1) Линейная функция имеет где и — заданные числа.

В данной функции — любое действительное число,

Эта функция задана на всей оси и для каждого х принимает одно и то же значение, равное —2. Следовательно, ее график — прямая, параллельная оси и отстоящая от нее на 2 единицы вниз (рис. 26).

2) Данная функция линейная, где

Для построения графика линейной функции достаточно двух точек. Найдем их: если то если то Соединяя прямой найденные точки, получим, график данной функции (рис. 27).

3) Дана функция Здесь Найдем две точки, принадлежащие графику функции: при ; если то . Соединяя прямой найденные точки, получаем график данной функции (рис. 28).

4) Для построения графика данной функции используем определение модуля:

Построим график функции при (рис. 29).

Рис. 27

Рис. 28

Рис. 29

Рис. 30

Рис. 31

Построим график функции при 2 (рис. 30).

График функции построен на рисунке 31.