Главная > Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИМЕНЬШЕГО И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. На рисунке 193 изображен график некоторой функции определенной на отрезке . В точке функция имеет максимум, а в точках — минимумы. Своего наименьшего значения, как это видно из рисунка, функция достигает в точке — точке минимума. Наибольшее значение функция принимает на конце отрезка в точке в которой функция не имеет экстремума (так как справа от точки функция не определена).

2. Для отыскания наименьшего и наибольшего значения функции, дифференцируемой внутри отрезка и непрерывной на его концах, следует найти все критические точки функции, лежащие внутри отрезка, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка, а затем из всех полученных таким образом чисел выбрать наименьшее и наибольшее.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке: а) .

Решение. Находим критические точки функции. Так как то имеются две критические точки:

а) В промежутке лежит одна из критических точек: Так как то наименьшее значение функции достигается

Рис. 193

Рис. 194

в точке и равно 3, а наибольшее — в точке и равно 8. Кратко это можно записать так:

б) В промежутке [1; 3) данная функция убывает. Поэтому . Наименьшего значения в промежутке функция не достигает, так как точка не принадлежит этому промежутку.

2. Вписать в круг радиуса прямоугольник наибольшей площади.

Решение. Обозначим длину одной из сторон прямоугольника через х (рис. 194), тогда длина другой стороны равна Заметим, что так как х — длина хорды окружности радиуса отличная от диаметра. Следовательно, площадь прямоугольника выразится равенством Найдем наибольшее значение функции на отрезке

Имеем откуда (значение очевидно, не удовлетворяет условию). Значит, надо сравнить значения функции при (в точке экстремума), (на концах отрезка). Так как то функция принимает наибольшее значение на при Поскольку наибольшее значение функции на отрезке достигается во внутренней точке отрезка, то наибольшее ее значение на интервале также достигается в точке При этом длина другой стороны прямоугольника равна т. е. искомым прямоугольником служит квадрат.

Замечание. 1) При отыскании наибольшего значения функции удобно записать ее в виде Далее найти наибольшее значение функции на заданном интервале Наибольшее значение функции будет достигаться в той же точке, что и для функции так как функция возрастает на

2) Данную задачу можно решить и без использования производной. Пусть величина угла между диагоналями прямоугольника равна а. Тогда площадь прямоугольника равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними, т. е.

Очевидно, что наибольшее значение функции достигается, если Значит, прямоугольник является квадратом.

3. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у которого диагональ наименьшая.

Решение. Пусть периметр прямоугольника равен 2а и одна из сторон прямоугольника равна х, тогда другая сторона будет

Диагональ прямоугольника — переменная величина; обозначив ее через, у, получим по теореме Пифагора или откуда где

Исследуем функцию с помощью первой производной:

значит, прямоугольник — квадрат.

Знаменатель дроби (1) положительный, поэтому достаточно исследовать только числитель: если если

Производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, функция при имеет минимум.

Таким образом, из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.

Рис. 195

4. В круг радиуса а вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь.

Решение. Пусть (рис. 195), тогда по теореме синусов имеем . Далее из

Рассмотрим площадь треугольника как функцию переменной а

Найдем значение при котором функция достигает наибольшего значения:

Так как то при откуда

Если то возрастает на Если то убывает на

Итак, Если то треугольник равносторонний.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru