§ 4. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИМЕНЬШЕГО И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. На рисунке 193 изображен график некоторой функции определенной на отрезке . В точке функция имеет максимум, а в точках — минимумы. Своего наименьшего значения, как это видно из рисунка, функция достигает в точке — точке минимума. Наибольшее значение функция принимает на конце отрезка в точке в которой функция не имеет экстремума (так как справа от точки функция не определена).

2. Для отыскания наименьшего и наибольшего значения функции, дифференцируемой внутри отрезка и непрерывной на его концах, следует найти все критические точки функции, лежащие внутри отрезка, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка, а затем из всех полученных таким образом чисел выбрать наименьшее и наибольшее.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке: а) .

Решение. Находим критические точки функции. Так как то имеются две критические точки:

а) В промежутке лежит одна из критических точек: Так как то наименьшее значение функции достигается

Рис. 193

Рис. 194

в точке и равно 3, а наибольшее — в точке и равно 8. Кратко это можно записать так:

б) В промежутке [1; 3) данная функция убывает. Поэтому . Наименьшего значения в промежутке функция не достигает, так как точка не принадлежит этому промежутку.

2. Вписать в круг радиуса прямоугольник наибольшей площади.

Решение. Обозначим длину одной из сторон прямоугольника через х (рис. 194), тогда длина другой стороны равна Заметим, что так как х — длина хорды окружности радиуса отличная от диаметра. Следовательно, площадь прямоугольника выразится равенством Найдем наибольшее значение функции на отрезке

Имеем откуда (значение очевидно, не удовлетворяет условию). Значит, надо сравнить значения функции при (в точке экстремума), (на концах отрезка). Так как то функция принимает наибольшее значение на при Поскольку наибольшее значение функции на отрезке достигается во внутренней точке отрезка, то наибольшее ее значение на интервале также достигается в точке При этом длина другой стороны прямоугольника равна т. е. искомым прямоугольником служит квадрат.

Замечание. 1) При отыскании наибольшего значения функции удобно записать ее в виде Далее найти наибольшее значение функции на заданном интервале Наибольшее значение функции будет достигаться в той же точке, что и для функции так как функция возрастает на

2) Данную задачу можно решить и без использования производной. Пусть величина угла между диагоналями прямоугольника равна а. Тогда площадь прямоугольника равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними, т. е.

Очевидно, что наибольшее значение функции достигается, если Значит, прямоугольник является квадратом.

3. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у которого диагональ наименьшая.

Решение. Пусть периметр прямоугольника равен 2а и одна из сторон прямоугольника равна х, тогда другая сторона будет

Диагональ прямоугольника — переменная величина; обозначив ее через, у, получим по теореме Пифагора или откуда где

Исследуем функцию с помощью первой производной:

значит, прямоугольник — квадрат.

Знаменатель дроби (1) положительный, поэтому достаточно исследовать только числитель: если если

Производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, функция при имеет минимум.

Таким образом, из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.

Рис. 195

4. В круг радиуса а вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь.

Решение. Пусть (рис. 195), тогда по теореме синусов имеем . Далее из

Рассмотрим площадь треугольника как функцию переменной а

Найдем значение при котором функция достигает наибольшего значения:

Так как то при откуда

Если то возрастает на Если то убывает на

Итак, Если то треугольник равносторонний.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)