ГЛАВА XVI

§ 1. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = sin(x) И ЕЕ ГРАФИК

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Основные свойства функции

а) область определения — множество всех действительных чисел;

б) множество значений — отрезок значит, синус — функция ограниченная;

в) функция нечетная: для всех

г) функция периодическая с наименьшим положительным периодом для всех

з) функция возрастает от — 1 до 1 на промежутках

и) функция убывает от 1 до — 1 на промежутках

к) функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках функция принимает наименьшее значение, равное —1, в точках

2. Используя свойства синуса, сначала строим его график на промежутке , т. е. на промежутке, длина которого равна периоду функции (рис. 106).

3. Используя периодичность функции строим график функции на всей числовой прямой (рис. 107).

Рис. 106

Рис. 107

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Построить график функции:

Для построения данных графиков будет использован прием растяжения и сжатия графика по оси абсцисс. Этот прием часто применяется при построении графиков тригонометрических функций.

Решение. Область определения функции — вся числовая прямая. Множество значений функции —

Функция нечетная, периодическая. Период данной функции найдем из равенства

Следовательно, сначала достаточно построить часть графика на отрезке

Найдем точки пересечения графика с осью Если то откуда где т. е. на данном полупериоде кривая пересекает ось в двух точках

Максимум функции равен 1 при т. е. при

По этим данным построим график функции Сначала график строим для положительного полупериода затем на отрезке, соответствующем отрицательному полупериоду (рис. 108), и, наконец, на всей области определения (штриховая линия).

Замечание. График функции — можно построить

Рис. 108

Рис. 109

иначе, приняв за исходный известный нам график функции нанесенный штриховой линией на рисунке 109.

Замечаем, что период исходной функции равен а период заданной функции составляет т. е. вдвое больше периода исходной функции. Таким образом, график, который требуется построить, получится из исходного графика (штрихового, на рисунке 109) путем растяжения его вдоль оси Ох вдвое.

Область определения функции — вся числовая прямая. Множество значений — отрезок

Период функции находится из равенства откуда период полупериод

Найдем точки пересечения графика с осью

Если то откуда где т. е. на данном полупериоде кривая пересекает ось в двух точках

Максимум функции равен 1 при т. е. при

По этим данным построим график (рис. 110).

Замечание. График функции можно построить путем сжатия по оси исходного графика в 3 раза (рис. 111), так как период — заданной функции в 3 раза меньше периода исходной функции.

Рис. 110

Рис. 111

Таким образом, если известен график то график функции строится посредством сжатия по оси исходного графика пропорционально коэффициенту при аргументе (см. гл. IX), а именно:

если то сжатие в раз;

если то растяжение в раз.

2. Построить график функции:

Для построения данных графиков будет использован прием растяжения и сжатия по оси ординат.

Решение. Строить этот график методом полного исследования функции, как это мы делали в предыдущих примерах, нецелесообразно.

Нетрудно заметить, что ординаты графика в 3 раза больше соответствующих ординат графика Поэтому график заданной функции строится путем увеличения всех ординат исходного графика в 3 раза, т. е. путем растяжения исходного графика по оси в 3 раза (рис. 112).

По тем же соображениям этот график строится способом уменьшения всех ординат исходного графика в 2 раза, т. е. путем сжатия исходного графика по оси в 2 раза (рис. 112).

Таким образом, если известен график функции то график функции строится посредством растяжения вдоль оси исходного графика пропорционально коэффициенту а именно:

Рис. 112

если то растяжение в раз;

если то сжатие в раз.

3. Построить график функции Решение. Запишем функцию так:

Преобразуем выражение в скобках таким образом, чтобы выявить «добавок» к аргументу х:

Строим график функции

Деформация по оси абсцисс (сжатие втрое) обязательно предшествует горизонтальному сдвигу оси ординат на а деформация по оси ординат (растяжение вдвое) должна предшествовать вертикальному сдвигу оси абсцисс на так как график весь поднимать сложнее.

Следовательно, порядок построения графика такой:

строим график функции

этот график сжимаем по оси абсцисс в 3 раза;

ось ординат переносим по горизонтали на

график растягиваем по оси ординат в 2 раза; ось абсцисс переносим по вертикали на —1,5.

График функции построен на рисунке 113.

Рис. 113

Рис. 114

4. Построить график функции Решение. 1-й способ. Строим график функции Ось ординат переносим на а ось абсцисс на (рис. 114).

2-й способ. График имеет две ветви, уравнения которых различны.

Область определения функции — вся числовая прямая. Интервал изменения функции определяем из условия

Общая точка для обеих ветвей графика: точка

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)