ГЛАВА XII

§ 1. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств.

2. Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.

3. Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой. Иногда системы неравенств записывают в виде двойного неравенства. Например, систему , можно записать так:

4. Решение системы линейных неравенств с одной переменной сводится к следующим случаям. Будем считать, что

В случае (1) решением системы служит промежуток (рис. 63, а); в случае (2) — промежуток (рис. 63, б); в случае (3) — промежуток (рис. 63, в); в случае (4) система не имеет решений (рис. 63, г).

5. Две системы неравенств называются равносильными, если они имеют общее множество решений, удовлетворяющих этим

Рис. 63

неравенствам. Равносильность систем неравенств обозначается так же, как и равносильность систем уравнений, т. е. с помощью знака о.

6. Если ставится задача найти множество всех таких значений переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств, то говорят, что надо решить совокупность неравенств.

7. Значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств совокупности обращается в верное числовое неравенство, называется решением совокупности неравенства. Множество решений совокупности неравенств есть объединение множеств решений входящих в нее неравенств.

Неравенства, образующие совокупность, объединяют квадратной скобкой. Например, запись , означает, что неравенства образуют совокупность.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Решить систему неравенств:

Решение.

1) Имеем

На координатной прямой изобразим множество чисел, удовлетворяющих последней системе неравенств (рис. 64). Из рисунка видно, что эта система, а значит, и данная система не имеют решений.

2) Заменим каждое неравенство данной системы равносильным ему неравенством, получим систему

Рис. 64

Рис. 65

Рис. 66

Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих последней системе неравенств (рис. 65).

Множество решений есть промежуток [3,6; 8).

3) Рассмотрим функцию Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как Решим уравнение Имеем

Следовательно, парабола пересекает ось в точках с абсциссами —2 и Изобразив схематически эту параболу (рис. 66), найдем, что если Теперь данная система неравенств примет вид;

Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих этой системе неравенств (рис. 67). Множество решений этой системы есть промежуток

4) Умножим обе части второго неравенства данной системы на —1, получим систему

Рассмотрим функцию Корни функции:

Изображая схематически параболу (рис. 68), найдем, что если

Рассмотрим функцию Корни функции:

Изображая схематически параболу (рис. 69), найдем, что если

Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих данной системе неравенств (рис. 70).

Рис. 67

Рис. 68

Рис. 69

Рис. 70

Таким образом, множество решений системы (1) есть промежуток

5) Дана система

Неравенство справедливо, если (см. решение примера 4).

Найдем корни функции Так как то уравнение корней не имеет. Это означает, что парабола не имеет общих точек с осью

Изображая схематически параболу (рис. 71), найдем, что при любом значении х.

Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих системе неравенств (1) (рис. 72).

Рис. 71

Рис. 72

Рис. 73

Рис. 74

Таким образом, множество решений системы (1) есть

2. Решить совокупность неравенств

Решение. Преобразуем каждое из неравенств, получим равносильную совокупность:

Для первого неравенства множеством решений служит промежуток а для второго — промежуток

Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенствам (рис. 73).

Находим, что объединением этих множеств, т. е. решением данной совокупности неравенств, является промежуток

3. Решить двойное неравенство:

Решение. 1) Запишем данное неравенство в виде системы неравенств

Решив ее, найдем, что оба неравенства верны при — Примечание. Этот пример можно решить так:

2) Запишем данное двойное неравенство в виде системы

Первое неравенство верно при второе — при Используя координатную прямую, находим, что решением системы служат значения х, удовлетворяющие условию — (рис. 74).

(см. скан)

(см. скан)