§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Число 
называется пределом функции 
при х, стремящемся к а, если для любого положительного числа 
найдется такое положительное число 
что при всех 
удовлетворяющих неравенству 
справедливо неравенство 
При этом употребляют запись 
2. Так как неравенство 
равносильно двойному неравенству 
а неравенство 
— двойному неравенству 
то определение предела функции в точке можно дать в такой форме: число 
есть предел функции 
при 
если, какова бы ни была е-окрестность точки 
найдется такая 
-окрестность точки а, что для любого значения 
принадлежащего 
-окрестности точки а, значение 
принадлежит е-окрестности точки 
(рис. 178).
3. Из определения предела функции следует, что функция должна быть определена на промежутке 
кроме, возможно, самой точки а.
4. Теорема. Если функция 
имеет предел при 
, то этот предел единственный.
5. Практически предел функции в точке находят не на основании определения предела функции, а на основании теорем о пределе функции, аналогичных теоремам о пределе числовой последовательности.
6. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
Если при 
о существуют пределы функций 
где 
Рис. 178
Следствие, 
где 
— постоянный множитель.
Из этих теорем вытекает, в частности, что предел многочлена 
при 
равен 
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Доказать, что 
Решение. Зададим произвольное 
и покажем, что существует 
такое, что из неравенства 
вытекает неравенство 
. Имеем 
Значит, если положить 
то выполнение неравенства 
влечет за собой выполнение неравенства 
. Таким образом, согласно определению заключаем, что 
2. Найти: 1) 2)
Решение. 1) Так как 
то по теореме о пределе частного получаем, что 
2) Здесь при 
и числитель, и знаменатель обращаются в нуль, поэтому теоремой о пределе частного пользоваться нельзя.
Заметим, что 
Так как при вычислении предела при 
предполагается, что 
, то дробь можно сократить на 
. В результате получаем 
