4. Задачи на зависимость между компонентами арифметических действий

Составление уравнений в задачах данного раздела вытекает непосредственно из условия задачи.

Задачи, в которых требуется найти сумму слагаемых, каждое из которых составляет ту или иную часть искомой суммы

Задача (№ 13.040). Трое изобретателей получили за свое изобретение премию в размере причем второй получил того, что получил первый, и еще , а третий получил денег второго и еще Какую премию получил каждый? Решение.

1. Пусть первый изобретатель получил х рублей.

2. Тогда второй получил рублей, третий получил рублей.

3. Из условия следует откуда

Ответ.

Решите задачи:

1. Задача (№ 13.015). Турист проехал расстояние между двумя городами за 3 дня. В первый день он проехал всего пути и еще 60 км, во второй всего пути и еще 20 км и в третий день всего пути и оставшиеся 25 км. Найти расстояние между городами.

2. Задача (№ 13.018). Вкладчик взял из сберкассы сначала

своих денег, потом оставшихся и еще После этого у него осталось на сберкнижке — всех его денег. Как велик был вклад?

3. Задача (№ 13.092). Денежная премия была распределена между тремя изобретателями: первый получил половину всей премии без части того, что получили двое других вместе; второй получил часть всей премии и часть денег, полученных вместе с остальными двумя; третий получил Как велика была премия и сколько денег получил каждый изобретатель?

Ответ. 1. 400 км. 2. 240 р. 3. 950 р., 400 р., 250 р., 300 р.

Задачи, в которых используется формула двузначного числа

Задача (13.027). Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.

Решение.

1. Пусть х — цифра десятков,

у — цифра единиц,

— искомое двузначное число.

2. Из условия задачи следует:

— не подходит, так как х — цифра).

Ответ. 32.

Решите задачи:

1. Задача (№ 13.119). Произведение цифр двузначного числа в 3 раза меньше самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.

2. Задача (№ 13.160). Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 4 и в остатке 3. Если же это число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 3 и в остатке 5. Найти это число.

Ответы. 1. 24. 2. 23.

Задачи, в которых слагаемые пропорциональны некоторым числам (или дано их отношение)

Задача (№ 13.028). Числители трех дробей пропорциональны числам 1, 2, 5, а знаменатели соответственно пропорциональны

числам 1, 3, 7. Среднее арифметическое этих дробей равно 222. Найти эти дроби.

Решение.

1. Числители дробей: (по условию задачи).

2. Знаменатели дробей: (по условию задачи).

3. Дроби:

4. Из условия задачи следует:

первая дробь;

вторая дробь;

третья дробь.

Ответ.

Решите задачи:

1. Задача (№ 13.042). Площади трех участков земли находятся в отношении Известно, что с первого участка собрано зерна на больше, чем со второго. Найти площадь всех трех участков, если средняя урожайность составляет

2. Задача (№ 13.048). Длина Дуная относится к длине Днепра как 6-5-: 5, а длина Дона относится к длине Дуная как Найти протяженность каждой из рек, если Днепр длиннее Дона на 300 км.

Ответы. 1. 26 га. 2. 2850 км, 2250 км, 1950 км.

Задачи, где неизвестные являются членами прогрессии (или пропорции)

Задача (№ 13.061). Для оплаты пересылки четырех бандеролей понадобились 4 различные почтовые марки на общую сумму . Определить стоимость марок, приобретенных отправителем, если эти стоимости составляют арифметическую прогрессию, а самая дорогая марка в 2,5 раза дороже самой дешевой.

Решение.

1. Пусть х рублей — стоимость самой дешевой марки.

2. Тогда 2,5 рублей — стоимость самой дорогой марки.

3. Стоимость всех четырех марок по условию есть сумма членов арифметической прогрессии, т. е.

4. Из формулы общего члена прогрессии имеем:

Ответ. 0,4; 0,6; 0,8; 1.

Решите задачи:

1. Задача (№ 13.144). Сумму всех четных двузначных чисел разделили на одно из них. Остатка не было. Получившееся частное только порядком цифр отличается от делителя, а сумма его цифр равна девяти. Какое двузначное число являлось делителем?

2. Задача (№ 13.211). Цифры некоторого трехзначного числа составляют геометрическую прогрессию. Если в этом числе поменять местами цифры сотен и единиц, то новое трехзначное число будет на 594 меньше искомого. Если же в искомом числе зачеркнуть цифру сотен и в полученном двузначном числе переставить его цифры, то новое двузначное число будет на 18 меньше числа, выраженного двумя последними цифрами искомого числа. Найти это число.

3. Задача (№ 13.299). Найти четыре числа, образующих пропорцию, если известно, что сумма крайних членов равна 14, сумма средних членов равна 11, а сумма квадратов таких четырех чисел равна 221.

Ответы. 1. 54. 2. 842. 3. 12; 8; 3; 2.

Задачи, компонентами которых являются геометрические величины

Задача (№ 13.057). Две силы приложены к одной точке и направлены под прямым углом. Величина одной из них на 4 Н больше величины другой, а величина равнодействующей на 8 Н меньше суммы величин данных сил. Найти величины данных сил и их равнодействующей (рис. 257).

Решение.

1. I сила — .

2. II сила — .

3. Равнодействующая сил:

Рис. 257

4. Из прямоугольного треугольника следует

— не удовлетворяет условию задачи.

5. Следовательно, 12 Н - I сила,

- II сила,

— равнодействующая сила.

Ответ. 12 Н; 16 Н; 20 Н.

Решите задачи:

1. Задача (№ 13.059). По обе стороны улицы длиной во вновь разбиваемом поселке лежат прямоугольные полосы земли, отведенные на участки: одна шириной а другая — На сколько участков разбит весь поселок, если более узкая полоса содержит на 5 участков больше, чем широкая, при условии, что на узкой полосе каждый участок на меньше, чем каждый участок на широкой полосе?

2. Задача (№ 13.147). Имеется лист жести в форме прямоугольника, у которого отношение длины к ширине равно Из этого листа изготовлена открытая сверху коробка таким образом, что по углам листа вырезано по квадрату со стороной 3 см и получившиеся края загнуты. Определить размеры листа жести, если объем коробки оказался равным

3. Задача (№ 13.191). К материальной точке приложены две силы, угол между которыми равен 30°. Величина одной из приложенных сил в раза больше величины другой, а величина равнодействующей силы на 24 Н больше, чем величина меньшей силы. Определить величину меньшей силы и равнодействующей силы.

4. Задача Величины двух сил, действующих на материальную точку под прямым углом, и величина их равнодействующей составляют арифметическую прогрессию. Определить, в каком отношении находятся величины сил.

Ответы. 1. На 45. 2.