ГЛАВА XXI

§ 1. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К НАХОЖДЕНИЮ ПРОМЕЖУТКОВ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Теорема. Если производная функции в точке положительна, то функция возрастает в некоторой окрестности этой точки. Если производная функции в точке отрицательна, то функция убывает в некоторой окрестности этой точки.

2. На рисунках 180 и 181 графически иллюстрируется возрастание и убывание функции в зависимости от знака ее производной в окрестности данной точки Функция, график которой изображен на рисунке 180, возрастает в окрестности точки так как функция, график которой изображен на рисунке 181, убывает в окрестности точки поскольку

3. Теорема. Достаточное условие возрастания (убывания) функции на интервале. Если функция имеет положительную производную в каждой точке интервала то функция возрастает на этом интервале. Если функция имеет отрицательную производную в каждой точке интервала то функция убывает на этом интервале.

4. Отметим также, что если функция монотонна на интервале

Рис. 180

Рис. 181

и непрерывна в точках a и b, то она монотонна и на отрезке

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Найти промежутки монотонности функции:

Решение. 1) Данная функция определена на всей числовой прямой. Находим производную: Так как при при то в промежутке функция убывает, а в промежутке возрастает (точка включается в промежутки монотонности, поскольку в этой точке функция определена и непрерывна; см.

2) Область определения функции — вся числовая прямая, за исключением точки . Находим Очевидно, что при всех , т. е. данная функция убывает в промежутках

3) Найдем область определения данной функции:

Квадратное уравнение имеет корни Неравенство (1) справедливо при всех действительных значениях х в промежутке [0; 1]. Следовательно, функция определена в промежутке [0; 1].

Найдем производную функции . В интервале возрастания функции производная Знаменатель следовательно, числитель Имеем Решив найдем Учитывая, что область определения функции [0; 1], имеем

Знаменатель но при знаменатель обращается в нуль, поэтому х может принимать лишь значения

Следовательно, на промежутке [0; 0,5] функция возрастает.

В интервале убывания функции производная (2)

Решим неравенство (2), получим:

Следовательно, функция убывает на промежутке [0,5; 1].

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ