§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. 
Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой 
3. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию 
достаточно знать ее первый член 
и знаменатель 
Например, условиями 
задается геометрическая прогрессия 
. Эта прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.
4. Если 
то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, 
тогда геометрическая прогрессия 
есть монотонно убывающая последовательность.
Если 
то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.
5. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность 
является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е.
6. Формула 
члена геометрической прогрессии имеет вид:
7. Формула суммы 
первых членов геометрической прогрессии имеет вид:
8. Если в формулу (3) подставить вместо 
его выражение по формуле (2), то получится соотношение
9. Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что 
, т. е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. В геометрической прогрессии:
найти 
635; найти 
Решение. 1) Для того чтобы найти 
используем формулу (2):
Для нахождения 
используем формулу (4):
2) Для нахождения 67 используем формулу (2):
Для нахождения 
используем формулу (3):
откуда 
Найденное значение 
подставим в уравнение (1), получим 
2. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 15, а сумма второго и четвертого 30. Найти сумму первых десяти членов.
Решение. Составим систему уравнений:
Разделив почленно второе уравнение системы (1) на первое уравнение, получим 
Подставляя найденное значение 
в первое уравнение, находим 
По формуле (4) найдем 
3. Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, зная, что первое больше второго на 36, а третье больше четвертого на 4.
Решение. Согласно условию имеем 
Составим систему:
Разделим почленно второе уравнение системы (2) на первое уравнение, получим 
откуда 
Если 
Если 
, то 
Ответ. 54; 18; 6 и 2 или 27; —9; 3; —1.
4. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 15. Если к ним прибавить соответственно числа 1,4 и 19, то получатся три числа, составляющие геометрическую прогрессию. Найти эти числа.
Решение. По условию 
Так как 
то 
Из условия имеем 
Отсюда 
Тогда 
По условию 
Используя формулу (1), можно записать, что 
тогда имеем:
Решим уравнение (1), получим 
Тогда 
или 
Получаем две тройки чисел: 2; 5; 8 и 26; 5; -16.
5. Сумма трех чисел, являющихся последовательными членами арифметической прогрессии, равна 21. Если второе число уменьшить на единицу, а третье увеличить на единицу, то получатся три последовательных члена геометрической прогрессии. Найти эти числа.
Решение. Пусть 
— члены арифметической прогрессии. Тогда 
— члены геометрической прогрессии. В результате приходим к системе уравнений
первое уравнение которой получается из условия задачи, а второе — на основании характеристического свойства геометрической прогрессии. Выразив все величины через 
и 
получим:
Итак, получаем ответ: 3, 7, 11 или 12, 7, 2.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
(см. скан)
