§ 6. ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ И СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Производная степенной функции
1. Производную степенной функции х, где 
вычисляют по формуле
2. Заметим, что если 
то формула (1) справедлива при всех значениях 
кроме 
Если же при этом 
то формула (1) справедлива при любом х.
3. Из формулы (1) вытекают, в частности, формулы для нахождения производных функций 
При 
получаем:
При 
имеем:
Производная сложной функции
4. Если у есть функция от 
, где 
в свою очередь есть функция от аргумента 
т. е. если у зависит от х через промежуточный аргумент u, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции): 
5. Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:
6. Пример. Найти производную функции 
Решение. 
7. Формулы дифференцирования.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Найти производную функции:
Решение. I) 
формуле 
и по формуле (7а) найдем:
Найдем производную по тем же формулам, которые были применены при решении первого примера:
2. Найти производную функции:
Решение. 
Пусть 
получим 
По формуле (7) имеем 
Данный пример можно решить двумя способами.
1-й способ. Запишем функцию с помощью отрицательного показателя и применим формулу (7). Тогда 
2-й способ. Применим последовательно формулы (8) и (7), получим:
Получили один и тот же результат.
Применим последовательно правило дифференцирования частного, а затем дифференцирования сложной функции, получим:
3. Найти производную функции:
Решение. 
Заменим 
получим 
По формуле (9) имеем:
По формуле производной произведем 
получим:
Найдем производные в каждом из слагаемых и выполним преобразования, получим:
Заменим кубический корень дробным показателем и по формуле (7) найдем производную степени: 
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
(см. скан)
