§ 3. СВОЙСТВА ФУНКЦИ И у=tg(x) И ЕЕ ГРАФИК

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Основные свойства функции

а) область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида

Рис. 126

Рис. 127

Рис. 128

б) множество значений — вся числовая прямая, таким образом, тангенс — функция неограниченная;

в) функция нечетная: для всех х из области определения;

г) функция периодическая с наименьшим положительным периодом для всех х из области определения;

з) функция возрастает на промежутках

2. Все перечисленные свойства тангенса позволяют построить его график сначала на промежутке т. е. на промежутке, длина которого равна периоду функции (рис. 127), и затем на всей числовой прямой (рис. 128).

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Построить график функции:

Решение.

а) Область определения любое число, кроме где так как

б) область значений (изменения) — вся числовая прямая, т. е.

в) функция не является ограниченной;

г) функция не принимает экстремальных значений;

д) функция периодическая, главный период так как

е) функция не является монотонной на всей области определения, но функция возрастает на каждом из промежутков где

точки пересечения с осями координат — точки где так как при

Учитывая периодичность, построим график функции (рис. 129).

Рис. 129

Рис. 130

2) . Для построения графика функции сначала Представим ее в виде Выполнив сжатие тангенсоиды по оси абсцисс вдвое, получим график функции Выполнив сжатие графика функции по оси ординат в 3 раза, получим кривую

Осуществив параллельный перенос этой кривой влево на расстояние получим график данной функции (рис. 130).

Замечание. Функция не определена при т. е. в точках где 662-

Функция обращается в нуль при т. е. график пересекает ось абсцисс в точках

Функция четная, так как При график искомой функции тот же, что и график функции График искомой функции изображен на рис. 131.

Рис. 131

Рис. 132

4) . График этой функции получается из графика функции если ту часть графика, которая расположена в верхней полуплоскости, оставить без изменения, а часть графика, расположенную в нижней полуплоскости, зеркально отобразить относительно оси Ох (рис. 132).

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)