§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: (читается штрих от

2. Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки включая эту точку.

3. Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.

Заметим, что обратное утверждение является неверным. Например, функция непрерывна но в точке производной не имеет: можно показать, что

т. е. данная функция не имеет предела при стремящемся к нулю.

4. Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

5. Вычисление производной функции производится в соответствии с правилом дифференцирования:

а) фиксируют значение аргумента х и находят

б) дают аргументу х приращение и находят

в) находят приращение функции

г) делят приращение функции на приращение аргумента т. е. составляют отношение

д) находят предел этого отношения при

Найденный предел и есть производная функции

6. Производная постоянной функции равна нулю: где

7. Производная функции равна

8. Производная функции равна

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Найти среднюю скорость изменения функции при изменении х от до

Решение. 1-й способ. Найдем приращение аргумента:

Вычислим приращение функции:

Найдем среднюю скорость изменения функции: 19,5.

2-й способ. Вычислим среднюю скорость изменения функции при любом значении аргумента по общему правилу:

Найдем приращение аргумента: Определим среднюю скорость при

2. Прямолинейное движение точки задано уравнением где дано в секундах, — в метрах. Найти скорость движения точки в момент

Решение. Найдем среднюю скорость движения точки:

Найдем истинную скорость движения точки в момент времени

Найдем теперь скорость движения точки в момент времени :

3. Дана функция Найти у в точке

Решение.

Замечание. Решая данный пример, мы вывели формулу, что производная функции равна

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)