§ 2. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Теорема. Если функция есть первообразная для функции на промежутке X, то при любой постоянной С функция также является первообразной для функции на промежутке X. Любая первообразная функции на промежутке X может быть записана в виде

2. Какую бы постоянную в формуле (1) ни подставить вместо С, получится первообразная для функции Выражение называют общим видом первообразных для функции

3. Какую бы первообразную для функции ни взять, ее можно получить из формулы (1) при соответствующем подборе постоянной С.

4. Геометрически основное свойство первообразных можно интерпретировать так: графики всех первообразных данной функции получаются из любого из них путем параллельного переноса вдоль оси (рис. 230).

5. Таблица первообразных для некоторых функций:

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Для функции Нати первообразную, график которой проходит через точку 0.

Решение. Общим видом первообразных для является функция Решая уравнение относительно С, находим Таким образом, есть искомая первообразная.

2. Для функции — найти первообразную, график которой проходит через точку

Решение. Любая первообразная функция записывается в виде Графики этих первообразных изображены на рисунке 231.

Рис. 230

Рис. 231

Координаты точки графика искомой первообразной должны удовлетворять уравнению Отсюда находим, что Следовательно, искомая первообразная такова:

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)