§ 4. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, СОДЕРЖАЩЕЕ ПАРАМЕТР

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Пусть дано уравнение вида

где — переменные величины.

Переменные которые при решении уравнения (1)

считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

2. Решить уравнение (1) — значит указать, при каких значениях параметров существуют значения удовлетворяющие данному уравнению.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Решить уравнение с параметром:

Решение. 1) Данное уравнение содержит параметр а (переменную, которая в условии данного примера сохраняет одно и то же значение). Если то — любое действительное число. Если то

2) Данное уравнение также содержит параметр а. Если то — любое действительное число. Если то

3) Данное уравнение также содержит параметр а. Перенесем в левую часть уравнения, а слагаемое 2 в правую часть, изменив при этом их знаки, и упростим:

Если то получим уравнение которое не имеет корней.

Если то уравнение имеет единственный корень

Итак, если то ; если то уравнение не имеет корней.

4) Данное уравнение является линейным относительно х. Оно имеет смысл при любых действительных значениях параметра а. Приведем его к виду

Если то уравнение примет вид его решением является любое действительное число.

Если то уравнение примет вид это уравнение не имеет решений.

Если то уравнение имеет единственное решение

Как понимать выражение «имеет единственное решение»? Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х. Например, если то если

2. Решить относительно х уравнение

Решение. Из условия следует, что Умножив обе части уравнения (1) на получим уравнение

При

Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений а, при которых найденное значение при

Таким образом, при уравнение (1) имеет единственное решение

При и при решений нет, при уравнение (1) не имеет смысла.

Заметим, что если при каком-либо значении параметра данное уравнение не имеет смысла, то оно при этом значении параметра и не имеет решения. Обратное утверждение неверно. Нельзя, например, утверждать, что при решенное выше уравнение (1) не имеет смысла. Если подставить в уравнение , получим вполне определенное уравнение

Значит, при уравнение (1) имеет смысл. Однако корней это уравнение не имеет, так как корень уравнения к которому сводится уравнение (2), является для него посторонним.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)