§ 2. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов. Множество натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения — сумма и произведение натуральных чисел также являются числами натуральными.

2. Однако разность двух натуральных чисел уже не всегда является натуральным числом. Так, результат вычитания двух одинаковых

новых натуральных чисел приводит к понятию нуля и введению множества целых неотрицательных чисел:

Чтобы сделать выполнимой операцию вычитания, вводят отрицательные целые числа и таким образом получают множество целых чисел

3. Чтобы сделать выполнимой операцию деления на любое число, не равное нулю, необходимо к множеству всех целых чисел присоединить множество всех положительных и отрицательных дробей. В результате получается множество рациональных чисел Уравнение где имеет на множестве рациональных чисел корень при любых рациональных а и

4. Необходимость дальнейшего расширения множества чисел связана в основном с двумя причинами. Во-первых, рациональных чисел недостаточно для выражения результатов измерений (например, нельзя выразить рациональным числом длину диагонали квадрата со стороной 1). Во-вторых, такие числовые выражения, как не являются рациональными числами.

Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел (бесконечных десятичных непериодических дробей) дает множество действительных чисел.

5. Действительные числа сравниваются по величине аналогично правилу сравнения рациональных чисел (см. гл. III, § 5). Например,

6. Для числовых промежутков вводятся следующие обозначения:

— замкнутый промежуток (или отрезок)

с началом а и концом

открытый промежуток (или интервал);

или или — полуоткрытые промежутки (полуинтервалы);

или или — открытые лучи;

— координатная прямая.