§ 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Линейным неравенством называется неравенство вида Если то неравенство равносильно неравенству если то неравенство равносильно неравенству

2. Квадратным неравенством называется неравенство вида где

3. Решить неравенство, содержащее переменную, — значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным. Элементы этого множества называются решениями неравенства.

4. Два неравенства называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают.

Пусть требуется решить неравенство . В зависимости от знака дискриминанта могут представиться три случая.

1) Если то график квадратного трехчлена не пересекает ось и лежит выше этой оси при и ниже ее при . В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая (рис. 56, а), а во втором оно является пустым (рис. 56, б).

Рис. 56

2) Если , то график квадратного трехчлена пересекает ось в точках служащих корнями уравнения Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка При этом знак квадратного трехчлена совпадает со знаком коэффициента а. во всех точках промежутков и противоположен знаку коэффициента а во всех точках промежутка (рис. 57).

3) Если то график квадратного трехчлена касается оси в точке являющейся единственным корнем уравнения Точка разбивает числовую прямую на два промежутка Знак квадратного трехчлена совпадает со знаком коэффициента а при всех (рис. 58).

Рис. 57

Рис. 58

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Решить неравенство:

Решение. 1) Чтобы решить неравенство перенесем 16 в правую часть с противоположным знаком, получим — Теперь разделим обе части этого неравенства на отрицательное число —3 и изменим знак неравенства на противоположный:

Таким образом, множеством решений данного неравенства служит промежуток

2) Рассмотрим функцию Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как

Решим уравнение Корни этого уравнения:

Следовательно, данная парабола пересекает ось в точках с абсциссами —0,5 и 1.

Изобразив схематически параболу (рис. 59), найдем, что если

Множеством решений неравенства является объединение промежутков Объединение промежутков можно записать с помощью знака следующим образом:

3) Рассмотрим функцию Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как

Решим уравнение следовательно, это уравнение корней не имеет, поэтому парабола не имеет общих точек с осью

Изобразив параболу схематически (рис. 60), найдем,что при любом значении х.

Рис. 59

Рис. 60

Рис. 61

Рис. 62

4) Рассмотрим функцию Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как

Решим уравнение — или

Корни этого уравнения и

Изобразив схематически параболу (рис. 61), найдем, что в каждом из промежутков:

5) Рассмотрим функцию Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как Решим уравнение Корень этого уравнения Значит, парабола касается оси в точке с абсциссой —0,5.

Изобразив схематически параболу (рис. 62), найдем, что при любом х, не равном —0,5.

Ответ.

(см. скан)

(см. скан)