§ 2. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА cos(x) > a, cos(x) < a

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида используют единичную окружность или график функции

2. Важным моментом является знание, что:

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Решить неравенство:

Решение. Обозначим через тогда данное неравенство примет вид Этому неравенству удовлетворяют все точки единичной окружности, абсциссы

Рис. 164

Рис. 165

которых больше или равны Из рисунка видно, что эти точки дуги лежат правее прямой или на самой этой прямой. Следовательно, множество всех точек, удовлетворяющих данному неравенству есть дуга, выделенная на рисунке 164. Концы этой дуги входят в искомое множество, так как их абсциссы равны — и, значит, удовлетворяют данному неравенству.

Таким образом,

Учитывая периодичность косинуса, запишем множество всех решении неравенства

Переходя снова к переменной х, получаем искомый ответ:

Для решения данного неравенства можно было использовать графики функций

2) Обозначим через а, тогда данное неравенство примет вид Этому неравенству удовлетворяют все точки единичной окружности, абсциссы которых меньше (рис. 165). Из рисунка видно, что эти точки лежат левее прямой

Следовательно, искомое множество точек есть дуга, выделенная на рисунке 165. Концы этой дуги не входят в искомое множество, так как мы решаем строгое неравенство.

Ограничиваясь рассмотрением углов а, лежащих в промежутке получаем

Учитывая периодичность косинуса, запишем множество всех решений неравенства

Теперь перейдем снова к переменной х, получаем искомый ответ:

Введем новую переменную Тогда данное неравенство можно записать так:

Получили квадратное неравенство, корни трехчлена

Разложим квадратный трехчлен на линейные множители по формуле получим

Решим это неравенство методом интервалов. Из рисунка 166 следует, что

Как видно из рисунка 167, все искомые точки лежат правее прямой и левее прямой

Получим ответ:

Введем новую переменную тогда данное неравенство примет вид:

После преобразований получаем:

Рис. 166

Рис. 167

Рис. 168

Рис. 169

Решим это неравенство методом интервалов (рис. 168). Решение неравенства: .

Неравенство решения не имеет.

Так как — то неравенство надо заменить неравенством Решением этого неравенства (рис. 169) является

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)