§ 5. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Справедливы соотношения:

2. Уравнение вида приводится к квадратному уравнению одной тригонометрической функции путем замены

3. Уравнение вида называется однородным первой степени относительно Оно решается делением обеих его частей на . В результате получается уравнение вида

4. Уравнение вида

называется однородным уравнением второй степени относительно если все три коэффициента или какие-либо

два из них отличны от нуля. Считая, что разделим обе части уравнения на тогда получим:

Уравнение равносильно уравнению как корни уравнения не являются корнями уравнения (1).

Однако если то уравнение (1) принимает вид которое решается разложением левой части на множители:

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Решить уравнение:

Решение. 1) Область определения этого уравнения:

Поскольку обозначим через у, то получим новое уравнение которое приводится к квадратному уравнению

Корни этого уравнения

Если

Если то

Значения аргумента, при которых не являются решениями этого уравнения, так как если то должно выполняться равенство но косинус и синус не могут быть одновременно равны нулю. Поэтому можно обе части данного уравнения разделить на или и при этом получить равносильное уравнение.

Разделим обе части на получим равносильное уравнение

Решим его: поэтому поэтому

Так как то данное уравнение можно заменить равносильным ему уравнением

Раскроем скобки, перенесем все члены из правой части уравнения в левую, сделаем приведение подобных членов. Получим:

Это — однородное уравнение второй степени. Разделив обе части этого уравнения на найдем:

откуда значит, или значит,

Вынесем общий множитель за скобки, получим Решим это уравнение. значит, Разделив обе части на получим значит,

Замечание. Если бы мы как в примерах 2 и 3, разделили обе части данного уравнения на то получили бы уравнение Корни этого уравнения: Как видно, мы потеряли бы серию корней .

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)