§ 4. РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ПРОМЕЖУТКОВ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Решение рациональных неравенств вида 
где 
— многочлены, основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках 
и между этими точками не имеет других корней, то в промежутке 
функция сохраняет знак.
Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции 
поступают так. На координатной прямой отмечают все точки, в которых функция 
обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают координатную прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция 
непрерывна и не обращается в нуль, т. е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой-либо точке рассматриваемого промежутка координатной прямой.
Изменение знаков функции 
удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой, которую чертят справа налево. На тех промежутках, где кривая проходит выше координатной прямой, выполняется неравенство 
на тех же промежутках, где кривая проходит ниже, — неравенство 
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решить неравенство:
Решение. 1) Многочлен 
обращается в нуль в точках 
Эти точки разбивают координатную прямую на промежутки 
(рис. 91), внутри каждого из которых функция 
сохраняет свой знак.
Так как в промежутке 
все сомножители положительны, то и их произведение положительно, т. е. 
в промежутке (0; 1) последний сомножитель 
отрицателен, а остальные три положительны, т. е. 
далее, в промежутке 
в промежутке 
наконец, в промежутке 
все четыре сомножителя отрицательны, т. е. 
. В результате получаем ответ: 
2) Трехчлен 
при всех 
принимает положительные значения (так 
Поэтому данное неравенство равносильно неравенству 
(располагаем множители в порядке возрастания корней). Получаем следующие промежутки знакопостоянства: 
(рис. 92).
В промежутке 
все три сомножителя положительны, и, значит, 
В промежутке (1; 2) сомножитель 
отрицателен, а остальные два положительны, т. е. 
В промежутке 
) знак второго сомножителя 
не меняется и 
по-прежнему.
Наконец, в промежутке 
два сомножителя отрицательны, а один положителен, т. е. 
Итак, получаем 
3) Нанесем на координатную прямую точки 
и исследуем изменение знаков левой части неравенства
Рис. 91
Рис. 92
Рис. 93
Рис. 94
(рис. 93). Решением неравенства служит объединение промежутков 
4) Разложим квадратные трехчлены в числителе и знаменателе на линейные множители:
Отметив на координатной прямой точки 
и исследовав изменение знаков левой части неравенства (рис. 94), получаем ответ: 
5) Данное неравенство равносильно двум системам:
Из первой системы получаем из второй 
Объединяя полученные результаты, заключаем, что 
Итак, данное неравенство равносильно системе
Решая первое неравенство, находим, что 
или 
из второго неравенства имеем или 
Окончательно получаем, что 
или 
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
(см. скан)
