§ 4. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Если — скорость прямолинейно движущейся точки в момент времени то перемещение точки, т. е. приращение ее координаты, за промежуток времени равно:

Если на промежутке то интеграл равен пути, пройденному точкой.

2. Если материальная точка движется вдоль оси под действием переменной силы, проекция которой на ось есть функция от координаты х, то работа силы по перемещению точки из положения в положение равна:

3. Если в жидкость плотностью вертикально погружена пластинка (рис. 251), то сила давления жидкости на нее равна:

Рис. 251

где функция, выражающая зависимость длины поперечного сечения пластины от уровня погружения — ускорение свободного падения.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Путь, пройденный телом

1. Скорость движения тела задана уравнением Найти путь, пройденный телом за 10 с от начала движения.

Решение. В условии задачи дано: По формуле (1) получим:

2. Скорость движения тела в момент времени задается формулой , где — скорость (в м/с), t — время (в с). Какой путь пройдет тело от начала отсчета времени до остановки?

Решение. Так как в момент остановки тела скорость его равна 0, то нам нужно определить путь, пройденный телом от момента времени до Согласно формуле (1) получим:

3. Два тела начали двигаться в один и тот же момент из одной точки в одном направлении по прямой. Одно тело двигалось со скоростью другое — со скоростью На каком расстоянии они будут друг от друга через 5 с?

Решение. По формуле (1) вычислим пути, пройденные первым и вторым телом:

4. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью Найти наибольшую высоту подъема тела.

Решение. Тело достигает наибольшей высоты подъема в момент времени когда откуда с. По формуле (1) находим:

Работа силы

1. Пружина растягивается на под действием силы в 60 Н. Какую работу она производит, растягивая ее на

Решение. При По формуле (закон Гука для пружины) найдем откуда

Подставив найденное значение в формулу получим

По формуле (2), взяв пределы интегрирования от 0 до 0,12, вычислим работу:

2. Материальная точка М движется по координатной прямой под действием силы, величина которой меняется пропорционально расстоянию точки до начала координат О. Известно, что направление силы совпадает с направлением оси и что она равнялась 1 Н, когда расстояние было Вычислить работу этой силы по переносу точки на расстояние от начала координат.

Решение. Из условия задачи следует, что сила действующая на точку, меняется по закону где коэффициент пропорциональности находится из уравнения

Таким образом, работа силы на пройденном пути согласно (2) равна:

3. Для растяжения пружины на необходимо совершить

работу 20 Дж. На какую длину можно растянуть пружину, совершив работу в 80 Дж?

Решение. По длине растяжения пружины на и совершенной работе 20 Дж по формуле (2) найдем к:

откуда

Теперь по и А найдем где — длина, на которую растянута пружина при совершенной работе в 80 Дж:

откуда

Сила давления жидкости

Вычислить силу давления воды на вертикально погруженную треугольную пластину с основанием и высотой если вершина В лежит на свободной поверхности жидкости, а — параллельно ей (рис. 252).

Решение. Пусть — поперечное сечение пластины на уровне Найдем зависимость длины от х. Из подобия треугольников и имеем или откуда На основании формулы (3) получим:

так как плотность воды

Рис. 252

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

Контрольные вопросы

1. Дайте определение интеграла.

2. В чем заключается геометрический смысл интеграла?

3. В чем заключается разница между понятиями «перемещение точки» и «путь, пройденный точкой»?

4. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями: