ГЛАВА XXVIII

§ 1. ФОРМУЛА НЬЮТОНА—ЛЕЙБНИЦА

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Интегралом от а до b функции f называется приращение первообразной F этой функции, т. е. F(b)-F(а) (очевидно, что это приращение не зависит от выбора первообразной).

2. Интеграл от а до b функции f обозначается так: (читается: «Интеграл от а до b эф от икс дэ икс»).

Числа а и b называются пределами интегрирования, а — нижним, — верхним пределом. Знак называется знаком интеграла, функция — подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования. Отрезок с концами а и называется отрезком интегрирования.

3. Заметим, что верхний предел интегрирования необязательно больше нижнего предела; может быть

4. По определению интеграла: если то

Это равенство называется формулой Ньютона — Лейбница.

5. Для удобства записи приращение первообразной сокращенно обозначается так:

6. Формулу для вычисления площади криволинейной трапеции (см. предыдущую главу, § 4) с помощью интеграла можно записать таким образом:

Формула (2) верна для любой функции непрерывной на отрезке

7. Интеграл вида называется интегралом с переменным верхним пределом. Этот интеграл есть такая первообразная функции которая в точке обращается в нуль, и, следовательно, справедлива формула

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Вычислить интеграл:

Решение. 1) Для функции первообразной служит функция Следовательно, по формуле Ньютона — Лейбница получаем:

3) Пользуясь введенными обозначениями, получим:

(кликните для просмотра скана)

14) Для функции первообразная равна поэтому для функции первообразной является Следовательно,

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)