ГЛАВА XXVII

§ 1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Под дифференцированием функции мы понимаем нахождение ее производной

Например, если то для всех

2. Нахождение функции по заданной ее производной называют операцией интегрирования.

3. Таким образом, операция интегрирования обратна операции дифференцирования. Следовательно, операция интегрирования состоит в том, что по заданной производной находят (восстанавливают) функцию

Например, пусть Следует найти Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно увидеть, что Действительно, Легко догадаться, что находится неоднозначно.

В качестве могут быть использованы и такие функции, как и др., так как производная каждой из данных функций равна . Все эти функции отличаются друг от друга только постоянным слагаемым. Общее решение задачи можно записать в виде , где С — произвольное действительное число. Любую из найденных функций называют первообразной для функции

4. Определение. Функция называется первообразной для функции на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка

Так, функция есть первообразная для функции на промежутке так как для всех ? справедливо равенство

5. Множество всех первообразных для функции можно представить в виде где

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Доказать, что функция есть первообразная для функции на заданном промежутке, если:

Решение. 1) Так как то для всех что и требовалось доказать.

2) для всех что и требовалось доказать.

3) Так как то для всех х на промежутке что и требовалось доказать.

4) Так как то для всех х на промежутке что и требовалось доказать.

5) Согласно определению модуля имеем так как Следовательно, что и требовалось доказать.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)