§ 3. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА tg(х) > a, tg(х) < a
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида 
используют единичную окружность или график функции 
2. Важно знать, что:
Тангенс не существует, если 
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решить неравенство:
Решение. 
Введем новую переменную, т. е. обозначим 
через а, тогда данное неравенство примет вид 
Построим единичную окружность и проведем линию тангенсов, которая является касательной к окружности в точке (1; 0).
Так как 
— решение неравенства 
то ордината точки
Рис. 170
Т линии тангенсов, равная 
, должна быть больше или равна 
такие точки лежат на луче 
(рис. 170).
Точки 
единичной окружности, соответствующие точкам 
, образуют дугу, выделенную на рисунке 170. Для точек 
этой дуги и выполняется неравенство 
Чтобы получить все решения неравенства 
достаточно к концам указанного промежутка прибавить период тангенса, получим:
Так как 
Функция 
определена, если 
Это обстоятельство надо учитывать при окончательной записи ответа неравенства, которое решается.
Введем новую переменную 
Тогда данное неравенство можно записать в виде
Мы получили квадратное неравенство. Корнями квадратного трехчлена являются 
. Тогда по формуле разложения квадратного трехчлена на множители имеем:
Решим это неравенство методом интервалов. Решением являются 
(рис. 171).
Рис. 171
Рис. 172
Рис. 173
Возвращаясь к функции 
получим: 
Эти два неравенства нам и предстоит теперь решить. Неравенство 
мы уже решили в предыдущем примере. Ответ его известен.
Чтобы решить неравенство 
воспользуемся единичной окружностью (рис. 172). Нашему неравенству 
-удовлетворяют все точки линии тангенсов, ординаты которых меньше 
Этому условию удовлетворяют все точки дуги единичной окружности, выделенной на рисунке 172. Для точек 
этой дуги выполняется неравенство
В силу периодичности функции 
чтобы получить все решения неравенства 
— достаточно к концам этого промежутка прибавить период тангенса. Получим:
Решением данного неравенства являются: 
Построим на единичной окружности дуги, тангенс которых равен —1 (рис. 173).
Концы искомых дуг — точки дуги 
за исключением точки
В, так как при 
функции 
не существует. Следовательно, 
Учитывая периодичность функции 
ответ неравенства (1) запишем в виде
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
(см. скан)
