§ 2. АРКТАНГЕНС И АРККОТАНГЕНС

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. На интервале функция тангенс возрастает и принимает все значения из

2. Для любого числа а в интервале существует единственный корень уравнения

Это число называют арктангенсом числа а и обозначают (рис. 140).

3. Итак, арктангенсом числа а называется такое число а из интервала его тангенс равен а.

4. Арккотангенсом числа а называется такое число а из интервала что его котангенс равен а.

5. При всех допустимых значениях аргумента х справедливы тождества:

Например,

Рис. 140

Рис. 141

Рис. 142

б) для любого действительного х.

Например,

для любого действительного

Например,

Например,

6. Функция является нечетной, т. е.

7. Функция не является ни четной, ни нечетной. Например,

8. График функции имеет две асимптоты: (рис. 141).

9. График функции имеет две асимптоты: (рис. 142).

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Вычислить:

Решение. 1) Пусть тогда Отсюда следует, что Таким образом,

2) Пусть тогда Следовательно, Таким образом,

3) Пусть тогда Следовательно,

Пусть тогда Следовательно,

Пусть тогда и Следовательно,

С учетом найденных значений данное выражение принимает вид:

4) Пусть тогда

Пусть тогда

Пусть тогда

С учетом найденных значений данное выражение принимает вид:

2. Упростить:

Решение. 1) Пусть тогда

Значит, Следовательно,

2) Пусть тогда

3) Пусть тогда где Таким образом, наша задача сводится к отысканию

если Найдем

Найдем тангенс:

По формуле тангенса двойного угла имеем:

4) Обозначим через а. Тогда

Теперь остается найти а по заданному значению тангенса этого аргумента. Для того чтобы эта задача была однозначной, нужно указать пределы изменения а. Так как то Следовательно,

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)