ГЛАВА XXV

§ 1. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Пусть функция монотонна в своей области определения Тогда каждому значению соответствует единственное значение и обратно: каждое значение соответствует единственному Значит, в этом случае можно построить новую функцию, определенную на и такую, что каждому ставится в соответствие удовлетворяющее уравнению Эта новая функция называется обратной по отношению к функции

2. Для нахождения функции, обратной данной надо выразить х через у: а затем записать полученную функцию в общепринятой форме

3. Отметим, что если функции являются взаимно обратными, то область определения функции совпадает с множеством значений функции , наоборот, область определения функции совпадает с множеством значений функции

4. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой (рис. 214).

5. Рассмотрим, например, функцию заданную на промежутке На этом промежутке функция убывает и принимает все значения из множества Следовательно, для данной функции существует обратная. Из уравнения находим или так как переменная х может принимать только неположительные значения, то искомая обратная функция имеет вид Поменяв обозначения х на у и у на х, получим формулу где с помощью которой и задается обратная функция.

Если же рассматривать функцию заданную на промежутке то обратной для нее служит функция где

Рис. 214

Рис. 215

На рисунке 215 изображены график функции при и график обратной ей функции.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Задать формулой функцию, обратную Построить графики данной и обратной ей функции, если функция задана формулой

Решение. Выразив х через у, имеем

Заменив на у, а у на х, получим Найдем область определения обратной функции, она совпадает с множеством значений заданной функции. Этим множеством служит промежуток Итак, — функция, обратная данной.

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛ

Выведите формулу, задающую функцию обратную данной функции Укажите область определения и область значений функции

Ответы.

Рис. 216