§ 3. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными.

2. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной.

3. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Решить уравнение:

Решение. 1) Данное уравнение содержит всего одцн радикал; оставим его в левой части, а все остальные члены уравнения перенесем в правую часть, получим возведем обе части в квадрат: после переноса всех членов в левую часть и приведения подобных членов имеем:

Проверка. Если то Следовательно, первый корень не удовлетворяет уравнению. Второй корень удовлетворяет данному уравнению.

2) Возведя обе части уравнения в квадрат, получим откуда Проверка показывает, что этот корень посторонний (при обе части уравнения не имеют смысла).

Заметим, что проверку можно выполнить так: областью определения уравнения служит луч и так как то - посторонний корень.

3) Возведем обе части уравнения в квадрат: корни уравнения: Проверкой убеждаемся, что — посторонний корень, а удовлетворяет уравнению.

4) Допустимые значения неизвестного удовлетворяют условиям

Уединяя один из радикалов и возводя обе части уравнения в квадрат, получаем:

Снова возводим обе части в квадрат:

откуда

Число принадлежит области определения заданного уравнения, проверкой убеждаемся, что является его корнем.

Число не принадлежит области определения данного уравнения, поэтому не может быть его корнем.

5) Область определения уравнения Уединим радикал и возведем обе части уравнения в квадрат, получим квадратное уравнение Корни этого уравнения:

Оба корня принадлежат области определения данного уравнения, но удовлетворяет ему только корень посторонний.

Действительно, левая часть данного уравнения при всех допустимых значениях неизвестного, в частности при положительна, а правая часть этого уравнения при отрицательна. Следовательно, число не является корнем данного нам уравнения.

6) Возведя обе части уравнения в куб и используя тождество получим:

Так как по условию приходим к уравнению

Снова возводим обе части уравнения в куб, имеем корни данного уравнения:

7) Введем новую переменную Тогда получим уравнение область определения которого задается условиями , т. е. . Возведя обе части этого уравнения в квадрат, имеем:

Отсюда находим Значение не входит в область определения уравнения. Следовательно, Итак, получаем ответ:

По определению арифметического квадратного корня уравнение (1) равносильно системе

При первое уравнение системы имеет вид т. е. не имеет решений. При

Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству , откуда или

Таким образом, при при уравнение решений не имеет.

9) Решение данного уравнения заслуживает особого внимания, так как при его решении часто допускают такую ошибку.

Исходя из определения арифметического корня, напишут:

Потом решают данное им уравнение находят его корни: Из того, что , делают вывод, что и являются корнями уравнения. Однако проверка показывает, что один из корней в данном случае является посторонним. Таким образом, и в этом случае нужно делать проверку.

Рассмотрим другой способ решения данного уравнения.

По определению квадратного корня уравнение равносильно системе

Уравнение (1) равносильно уравнению корнями которого являются 6 и 11, но условие (2) выполняется только для Поэтому уравнение имеет только один корень

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)