§ 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Некоторые приемы доказательства неравенств.

1. Использование определения понятий «больше» и «меньше» (т. е. рассмотрение разности между левой и правой частями неравенства).

Пример. Доказать, что если 0, 60.

Решение. Рассмотрим разность

Следовательно,

Это неравенство означает, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического, причем равенство достигается только в том случае, когда

2. Использование известных неравенств.

Пример. Доказать, что 2, если

Решение. Так как числа и — положительны, то их среднее арифметическое не меньше среднего геометрического, т. е.

Итак, сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Доказательство неравенств с использованием определения понятия неравенства.

1. Доказать неравенство

Доказательство. Рассмотрим разность между левой и правой частями неравенства:

Выражение так как сумма неотрицательных чисел есть число неотрицательное. Следовательно,

2. Доказать, что при любых значениях верно неравенство

Доказательство. Неравенство (1) равносильно

Полученное неравенство (2) верное, так как

Доказательство неравенств путем преобразования очевидного неравенства к виду доказываемого неравенства.

3. Доказать, что если — целые положительные числа, то

Доказательство. При заданном условии задачи неравенства очевидны. Сложив их почленно, получим что и требовалось доказать.

Доказательство неравенств при помощи зависимости между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел.

4. а) Доказать неравенство

если a, b, c — неотрицательные числа.

Сложим эти неравенства:

Сократив обе части неравенства на 2, получим неравенство

б) Доказать, что

если — неотрицательные числа.

Доказательство. Имеем . Перемножив эти неравенства почленно, получим неравенство

(см. скан)