ГЛАВА XVII

§ 1. АРКСИНУС И АРККОСИНУС

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Теорема. Пусть функция возрастает (или убывает) на промежутке , а число а — любое из значений, принимаемых на этом промежутке. Тогда уравнение имеет единственный корень на промежутке

2. Функция синус возрастает на отрезке и принимает значения от —1 до 1. Таким образом (по теореме), для любого числа а, такого, что — на промежутке существует единственный корень уравнения Это число называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а (рис. 138).

3. Итак, арксинусом числа а называется такое число а из отрезка что его синус равен а.

Математическая запись данного предложения такова: если где

4. Значение арксинуса можно найти по таблицам или пользуясь калькулятором.

5. Функция косинус убывает на отрезке и принимает все значения от —1 до 1. Поэтому для любого числа а, такого, что на отрезке существует единственный корень уравнения

Рис. 138

Рис. 139

Это число называют арккосинусом числа а и обозначают

6. Итак, арккосинусом числа а называется такое число а из отрезка , что его косинус равен а.

Математическая запись данного предложения такова: если , где

7. Значение арккосинуса можно найти по таблицам или пользуясь калькулятором.

8. При всех допустимых значениях аргумента х справедливы тождества:

Например,

Например,

Например,

Например,

Например,

9. Функция является нечетной, т. е.

10. Функция не является ни четной, ни нечетной. Например,

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Вычислить:

Решение. 1) Пусть . Следовательно,

Пусть Следовательно,

Пусть тогда Следовательно,

Сделаем подстановку в данное выражение:

3) Обозначая имеем

Таким образом, наша задача сводится к отысканию по известным значениям

Раскрывая косинус суммы, находим:

где

Оба радикала берутся со знаком плюс, так как

Поэтому выражение (1) примет вид:

4) Обозначая имеем , где . Таким образом, наша задача сводится к отысканию по известным значениям

Раскрывая синус суммы находим:

В выражении (1) нам неизвестны Найдем значения этих функций. Нам известно, что принадлежат первой четверти, поэтому

Выражение (1) примет вид:

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)