§ 3. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Общее исследование функции и построение ее графика рекомендуется выполнять по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.

3. Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две-три дополнительные точки.

4. Найти производную функции и ее критические точки.

5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

6. Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение. 1) 1. Область определения — множество

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

3. Найдем точки пересечения графика с осью (т. е. нули функции):

Возьмем также две дополнительные точки, например:

4. Находим производную:

Приравняв производную нулю, получим критические точки:

5. Найденные критические точки разбивают числовую прямую на четыре промежутка:

Составим таблицу:

В первой строке таблицы в порядке возрастания расположены критические точки функции и ограниченные ими промежутки, во второй отмечены знаки производной в этих промежутках. В третьей строке записаны выводы об изменении функции, вычислены значения функции в точках экстремума и указано, какая из точек является точкой минимума, а какая — точкой максимума.

6. Используя результаты исследования, строим график функции (рис. 186).

2) 1. Функция определена при всех значениях х, кроме Отметим,

Рис. 186

Рис. 187

что при и при кроме того, при

2. Функция является нечетной, так как Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию лишь на промежутке

3. Если то т. е. точка (0; 0) принадлежит графику функции. Возьмем также две дополнительные точки, например:

4. Находим произвольную

5. Очевидно, что при всех значениях Следовательно, функция убывает на промежутках Экстремумов функция не имеет.

6. На основании полученных сведений строим график функции (рис. 187).

3) Находим Имеем Следовательно, функция нечетная.

Функция периодическая с основным периодом Поскольку период функции равен достаточно провести исследование только от до , построить график функции на отрезке и продолжить его, пользуясь периодичностью. Но так как функция является нечетной, то достаточно исследовать функцию и построить ее график на отрезке , затем, пользуясь симметрией относительно начала координат, отразить его на

отрезок и далее уже воспользоваться периодичностью данной функции. Итак, дальнейшее исследование проведем для отрезка .

Найдем точки пересечения графика с осью Для этого решим уравнение имеем На отрезке последнее уравнение имеет два корня: Следовательно, график функции не пересекает оси абсцисс ни в какой внутренней точке отрезка .

В интервале функция принимает только положительные значения.

Функция непрерывная и периодическая, следовательно, асимптот график функции не имеет. Найдем значения функции на концах отрезка , имеем

Найдем точки экстремума. Так как то, приравняв производную нулю, получим Далее последнее уравнение преобразуем так:

Решим полученные уравнения. Из первого уравнения находим из второго (напомним, что мы ограничиваемся пока отрезком

Таким образом, внутри отрезка имеется только одна точка которую надо проверить. Ясно, что эта точка максимума, поскольку, как мы отметили уже, на концах отрезка функция обращается в нуль, а всюду внутри отрезка она положительна.

Найдем значение функции в точке максимума:

Можно составить таблицу значений функции для некоторых значений аргумента:

Теперь, пользуясь полученными результатами, построим график функции сначала на отрезке а затем и на всей числовой прямой (рис. 188).

Рис. 188

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)