§ 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких уравнений с двумя (или более) переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений.

Систему двух уравнений с двумя переменными будем записывать так:

2. Число переменных может, вообще говоря, не равняться числу уравнений.

3. Решить систему значит найти все ее решения.

4. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

5. Система называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

6. Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

7. Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отысканию координат общих точек графиков уравнений.

8. Как известно, прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно этому система линейных уравнений с двумя переменными может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.

9. Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных. Пусть дана система

Если т. е. коэффициенты при и у не пропорциональны, то система имеет единственное решение. Это решение графически иллюстрируется как точка пересечения двух прямых (рис. 49).

Если система решений не имеет. В этом случае

Рис. 49

Рис. 50

Рис. 51

прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны и не совпадают (рис. 50).

Если то система имеет бесконечное множество решений. В этом случае прямые совпадают друг с другом (рис. 51).

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Решить графическим способом систему уравнений:

Решение. 1) Каждое уравнение системы

является линейной функцией. Графиком линейной функции является прямая. Для построения графика линейной функции достаточно найти две точки графика и провести через них прямую.

Построим график линейной функции Пусть тогда Пусть тогда Через две точки с координатами

Рис. 52

Рис. 53

Рис. 54

— проведем прямую (рис. 52).

Построим график линейной функции Пусть тогда Если то т. е.

Через точки с координатами проведем прямую (рис. 52).

Оба графика пересекаются в точке Следовательно, система имеет единственное решение:

2) Каждое из уравнений данной системы

является линейной функцией.

Графики этих функций построены на рисунке 53 — прямые совпадают. Каждую их точку можно рассматривать как общую точку обеих прямых. Это означает, что данная система уравнений имеет бесконечное множество решений. Решением является любая пара чисел вида где

3) Графики системы уравнений

параллельны и не совпадают (рис. 54). Система не имеет ни одного решения.

2. Решить систему уравнений способом подстановки:

Решение. При решении способом подстановки сначала из какого-нибудь уравнения выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, в

результате чего приходят к уравнению с одной переменной. Решают это уравнение. Затем находят соответствующее значение второй переменной.

1) Выразим из первого уравнения данной системы у через х (можно наоборот), получим:

Подставив во второе уравнение данной системы вместо у выражение получим систему

Данная и полученная системы равносильны.

В последней системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:

Соответствующее значение у найдем, подставив вместо х число - 5 в выражение , откуда

Пара решение системы.

2) Выразив из первого уравнения данной системы х через переменную у, получим Подставим во второе уравнение данной системы вместо переменной х выражение , имеем:

Из уравнения найдем, что Поэтому данная система имеет два решения:

3. Решить систему уравнений способом сложения:

Решение. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

1) Дана система

В уравнениях системы (1) коэффициенты при у — противоположные числа. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:

Заменим одно из уравнений системы (1), например первое, уравнением Получим систему

Решим систему (2). Подставив значение в уравнение получим уравнение с одной переменной

Пара (2; 1) — решение системы (2). Она является также решением системы (1), так как системы (1) и равносильны.

2) Почленное сложение уравнений системы

не приводит к исключению одной из переменных. Но если умножить все члены первого уравнения системы (1) на —3, а второго уравнения на 2, то коэффициенты при х в полученных уравнениях будут противоположными числами:

Почленное сложение уравнений системы (2) приводит к уравнению с одной переменной: Из этого уравнения находим, что . Получили

Решением системы (3), а следовательно, и системы (1) является пара чисел

4. Решить систему уравнений:

Решение. При решении систем, предложенных в этом пункте, лучше всего применять искусственные приемы, рекомендуемые в курсе алгебры.

1) Дана система уравнений

Разделив первое уравнение системы (1) на второе уравнение, получим уравнение первой степени которое со вторым уравнением системы (1) образует новую систему:

Решим эту систему: Исходная система (1) имеет то же решение.

2) Дана система уравнений

Умножим второе уравнение системы (1) на 2, результат сначала сложим с первым уравнением, а затем вычтем из него. Получим:

откуда

Поэтому решения данной системы получатся из решений следующих систем уравнений:

Решая эти системы уравнений, получим:

3) Дана система уравнений

Положим Тогда придем к системе уравнений:

Умножим второе уравнение системы (2) на —2 и сложим с первым уравнением, получим Тогда Следовательно, имеем систему уравнений

Умножим второе уравнение системы (3) на 3 и сложим с первым уравнением, получим

4) Решим систему уравнений

Преобразуем второе уравнение системы (1):

но . Следовательно, , или

Таким образом, получили равносильную систему уравнений

Для решения этой системы воспользуемся искусственным приемом, основанным на теореме Виета. Составим квадратное уравнение, корнями которого были бы или

Итак,

5) Решим систему уравнений

Умножим первое уравнение системы на 3 и сложим почленно со вторым уравнением:

Левая часть уравнения (2) представляет собой

Решая уравнение (3), получим Это уравнение первой степени с первым уравнением системы (1) определяет новую систему, равносильную данной:

Так как то второе уравнение системы (4) принимает вид или Полученное уравнение вместе с первым уравнением системы (4) определяет новую систему уравнений:

Решив ее, получим

6) Решим систему уравнений

Левую часть второго уравнения системы (1) разложим на множители:

Так как то уравнение (2) примет вид или Получили уравнение первой степени которое с первым уравнением системы (1) определяет новую систему:

Систему уравнений (3) решим способом подстановки:

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)