§ 2. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ, ЕЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.

2. Точка из области определения функции называется точкой минимума этой функции, если найдется -окрестность точки такая, что для всех хфхо из этой окрестности выполняется неравенство

3. Точка из области определения функции называется точкой максимума этой функции, если найдется такая -окрестность точки что для всех хфхо из этой окрестности выполняется неравенство

4. Точки минимума и максимума называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках соответственно минимумом и максимумом функции (или экстремумом самой функции).

5. Функция график которой изображен на рисунке 182, в точках имеет минимумы а в точках — максимумы ().

Заметим, что точки а и не считаются точками экстремума функции так как у этих точек нет окрестности, целиком входящей в область определения функции.

6. Теорема Ферма. Необходимое

Рис. 182

условие существования экстремума функции. Если точка является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то она равна нулю, т. е.

Например, функция в точке имеет минимум, следовательно, по теореме Ферма производная функции в этой точке равна нулю:

7. Отметим, что теорема Ферма выражает лишь необходимое условие существования экстремума: из того, что производная обращается в нуль или не существует в данной точке не следует, что — точка экстремума.

Так, производная функции (рис. 183) в точке равна нулю: Однако в этой точке функция не имеет экстремума.

Производная функции (рис. 184) в точке не существует. В этой точке функция не имеет экстремума.

8. Достаточные условия существования экстремума. Пусть функция непрерывна в точке и имеет производную в некоторой окрестности этой точки. Тогда:

если на интервале на интервале (т. е. производная меняет знак с минуса на плюс), то — точка минимума функции

если на интервале на интервале (т. е. производная меняет знак с плюса на минус), то — точка максимума функции

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Дана функция: Найти ее критические точки, промежутки монотонности, точки экстремума. Построить график функции

Рис. 183

Рис. 184

Рис. 185

Решение. 1) Имеем - критическая точка. Так как , то в промежутке функция убывает, а в промежутке возрастает. В точке функция непрерывна, а производная в этой точке меняет знак с минуса на плюс.

Таким образом, - точка минимума. Находим значение функции при

2) Имеем Приравняем найденную производную нулю и решим уравнение т. е. найдем критические точки функции:

Определим промежутки знакопостоянства производной: при при Значит, — точка максимума, — точка минимума.

Найдем экстремумы функции. Для этого вычислим значения функции в точках максимума и минимума: Теперь найдем точки пересечения графика с осями координат. Приравняв у нулю, получим откуда т. е. имеем точки (0; 0) и (3; 0). Составим таблицу:

Кроме того, функция возрастает на промежутках и убывает на промежутке Построим график функции (рис. 185).

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)