ГЛАВА XIX

§ 1. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА sin(х) > а, sin(х) < а

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.

2. При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности тригонометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.

3. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида используют единичную окружность или график функции

4. Важным моментом является знание, что:

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Решить неравенство:

Решение.

1-й способ. На единичной окружности строим дуги и

Рис. 157

AC, синус которых равен (рис. 157).

Из рисунка видно, что данному неравенству удовлетворяют все дуги, начало которых находится в точке А, а конец — в любой внутренней точке дуги

т. е. Чтобы получить все решения данного неравенства, достаточно к концам этого промежутка прибавить (Почему?)

Окончательно имеем:

2-й способ. Для решения данного неравенства строим графики функций (рис. 158).

Из рисунка видно, что прямая пересекает синусоиду в бесконечном числе точек.

На рисунке выделены несколько промежутков значений аргумента, удовлетворяющих данному неравенству, один из них Воспользовавшись периодичностью синуса, запишем окончательный ответ:

Используя рисунок 157, приходим к заключению, что концы искомых дуг должны лежать на дуге т. е.

Общее решение данного неравенства имеет вид:

Рис. 158

Рис. 159

На единичной окружности построим дуги, синус которых равен (рис. 159). Из рисунка видно, что данному неравенству удовлетворяют все дуги, начало которых находится в точке А, а конец — в любой точке дуги

Общее решение данного неравенства имеет вид:

Замечание. В отличие от предыдущих примеров концы этой дуги входят в искомое множество. (Почему?)

часть этого неравенства представляет собой синус суммы, т. е. или

Следовательно, данное неравенство примет вид Пользуясь рисунком 157, находим:

откуда

Введем новую переменную Тогда данное неравенство можно записать в виде Мы получили квадратное неравенство. Корнями трехчлена служат

Разложим трехчлен на линейные множители, по формуле имеем:

Решим это неравенство методом интервалов. Его решением будет объединение промежутков (рис. 160). Тогда получаем, что

Рис. 160

Рис. 161

Рис. 162

Для решения неравенства (1) используем единичную окружность (рис. 161). Из рисунка видим, что неравенству (1) удовлетворяют такие значения х:

Чтобы получить все решения неравенства (1), достаточно к концам указанного промежутка (3) прибавить (Почему?)

Окончательно имеем:

Для решения неравенства (2) используем также единичную окружность (рис. 162). Из рисунка видим, что неравенству (2) удовлетворяют следующие значения х:

Решением данного неравенства являются значения х, удовлетворяющие неравенствам (4) и (5).

Введем новую переменную тогда данное неравенство можно записать в виде

Решим неравенство:

Найдем корни квадратного трехчлена в числителе:

Рис. 163

Тогда

Решим неравенство методом интервалов. Из рисунка 163 видим, что решением являются Следовательно, Нам известно, что функция синус ограничена, т. е. поэтому неравенство решений не имеет.

Осталось решить неравенство Учитывая ограниченность функции синус, имеем

Решением этого неравенства, а следовательно, и данного неравенства будет

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)