10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби.
Рассмотрим некоторые типичные случаи.
Например,
Например,
11. Применение тождеств сокращенного умножения к действиям с арифметическими корнями:
12. Множитель, стоящий перед корнем, называется его коэффициентом. Например, Здесь 3 является коэффициентом.
13. Корни (радикалы) называются подобными, если они имеют одинаковые показатели корней и одинаковые подкоренные выражения, а отличаются только коэффициентом. Чтобы судить о том, подобны данные корни (радикалы) или нет, нужно привести их к простейшей форме.
Например, и подобны, так как
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Упростить выражения:
Решение. 1) Перемножать подкоренное выражение нет смысла, так как каждый из сомножителей представляет квадрат целого числа. Воспользуемся правилом извлечения корня из произведения:
В дальнейшем такие действия будем выполнять устно.
2) Попытаемся, если это возможно, представить подкоренное выражение в виде произведения множителей, каждый из которых является кубом целого числа, и применим правило о корне из произведения:
2. Найти значение выражения:
Решение. 1) По правилу извлечения корня из дроби имеем:
3) Преобразуем подкоренные выражения и извлечем корень:
3. Упростить при
Решение. При извлечении корня из корня показатели корней перемножаются, а подкоренное выражение остается без изменения
Если перед корнем, находящимся под корнем, имеется коэффициент, то прежде чем выполнить операцию извлечения корня, вводят этот коэффициент под знак радикала, перед которым он стоит.
Извлечем на основании изложенных правил два последних корня:
4. Возвести в степень:
Решение. При возведении корня в степень показатель корня остается без изменения, а показатели подкоренного выражения умножаются на показатель степени.
(так как определен, то );
Если данный корень имеет коэффициент, то этот коэффициент возводится в степень отдельно и результат записывается коэффициентом при корне.
Здесь мы использовали правило, что показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножать на одно и то же число (мы умножили на т. е. разделили на 2).
Например, или
4) Выражение в скобках, представляющее сумму двух различных радикалов, возведем в куб и упростим:
Поскольку имеем:
5. Исключить иррациональность в знаменателе:
Решение. Для исключения (уничтожения) иррациональности в знаменателе дроби нужно подыскать простейшее из выражений, которое в произведении со знаменателем дает рациональное выражение, и умножить на подысканный множитель числитель и знаменатель данной дроби.
Например, если в знаменателе дроби двучлен то надо числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряженное знаменателю, т. е. сумму надо умножить на соответствующую разность и наоборот.
В более сложных случаях уничтожают иррациональность не сразу, а в несколько приемов.
1) В выражении должно быть
Умножая числитель и знаменатель дроби на получим:
2) Умножая числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы, получим:
3) Приведем дроби к общему знаменателю:
Решая данный пример, мы должны иметь в виду, что каждая дробь имеет смысл, т. е. знаменатель каждой дроби отличен от нуля. Кроме того,
При преобразовании выражений, содержащих радикалы, часто допускают ошибки. Они вызваны неумением правильно применять понятие (определение) арифметического корня и абсолютной величины.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
(см. скан)