ГЛАВА XXIII
§ 1. ПОТЕРЯННЫЕ И ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ (НА ПРИМЕРАХ)
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. В двух теоремах § 3 главы VII говорилось о том, какие действия над уравнениями не нарушают их равносильности.
2. Рассмотрим теперь такие операции над уравнениями, которые могут привести к новому уравнению, неравносильному исходному уравнению. Вместо общих рассуждений ограничимся рассмотрением лишь конкретных примеров.
3. Пример 1. Дано уравнение 
Раскроем скобки в данном уравнении, перенесем все члены в левую часть и решим квадратное уравнение. Его корнями являются 
Если сократить обе части уравнения 
на общий множитель 
то получится уравнение 
которое неравносильно первоначальному, так как имеет всего один корень 
Таким образом, сокращение обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней уравнения.
4. Пример 2. Дано уравнение 
Данное уравнение имеет единственный корень 
Возведем обе части этого уравнения в квадрат, получим 
Решая это уравнение, найдем два корня: 
Усматриваем, что новое уравнение 
неравносильно исходному уравнению 
Корень 
является корнем уравнения 
которое после возведения в квадрат обеих частей приводит к уравнению 
5. Посторонние корни могут появиться также при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, если этот множитель при действительных значениях х обращается в нуль.
Пример 3. Если обе части уравнения 
умножим на 
то получим новое уравнение 
которое после переноса члена 
из правой части в левую и разложения на множители дает уравнение 
откуда 
либо 
Корень 
не удовлетворяет уравнению 
которое имеет единственный корень 
Отсюда делаем вывод: при возведении обеих частей уравнения в квадрат (вообще в четную степень), а также при умножении на множитель, содержащий неизвестное и обращающийся в нуль при действительных значениях неизвестного, могут появляться посторонние корни.
Все соображения, высказанные здесь по вопросу о потере и появлении посторонних корней уравнения, в одинаковой мере относятся к любым уравнениям (алгебраическим, тригонометрическим и др.).
6. Уравнение называется алгебраическим, если в нем над неизвестным выполняются только алгебраические операции — сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня с натуральным показателем (причем число таких операций конечное).
Так, например, уравнения
являются алгебраическими, а уравнения
неалгебраическими (почему?).
