ГЛАВА XXVI

§ 1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение

2. Решение логарифмического уравнения вида основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению при дополнительных условиях

3. Отметим, что переход от уравнения к уравнению иногда приводит к появлению посторонних корней. Такие корни можно выявить либо с помощью подстановки найденных корней в исходное логарифмическое уравнение, либо с помощью нахождения области определения исходного уравнения (эта область задается системой неравенств

4. При решении логарифмических уравнений часто бывает полезен метод введения новой переменной.

5. При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Решить уравнение:

Решение. 1) Должно быть Согласно определению логарифма имеем

2) Данное уравнение сводится к уравнению откуда получаем Проверим выполнимость условий Значение этим условиям не удовлетворяет (и, значит, является посторонним корнем), а значение удовлетворяет. Итак, единственный корень данного уравнения.

3) Умножая обе части уравнения на 2 и используя свойства логарифмов, имеем

В результате данное уравнение сводится к уравнению или откуда Для проверки полученных значений найдем область определения данного уравнения, она задается системой неравенств

Оба найденных значения этой системе удовлетворяют и, значит, служат корнями исходного уравнения.

4) Преобразуем данное уравнение:

Полагая получаем или откуда Таким образом, приходим к совокупности двух уравнений: Из первого уравнения находим а из второго

5) Логарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

Так как из условия следует, что то последнее уравнение равносильно совокупности уравнений Первое из них имеет корень а второе — корень Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют данному уравнению.

6) Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 2, получим:

Теперь положим тогда уравнение примет вид откуда . Из уравнения находим а из уравнения находим

7) Должно быть

Считая, что х принадлежит этой области, выполним следующие преобразования: Так как

то получим или Последнее уравнение содержит переменную и в основании степени, и в показателе степени, следовательно, для его решения надо использовать метод логарифмирования, получим откуда Оба значения х входят в область определения. Проверка подтверждает, что значения корни данного уравнения.

8) Данное уравнение имеет разные основания логарифмов. Перейдем к одному основанию:

Так как то получаем:

Так как

Проверка подтверждает, что значения — корни данного уравнения.

9) где Логарифмируя по основанию а, получим:

Из условия следует, что Имеем:

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)