§ 3. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ РАВЕНСТВ И ТЕОРЕМЫ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Числовое равенство не нарушится, если к обеим его частям прибавить или отнять одно и то же число.

2. Числовое равенство не нарушится, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

На этих свойствах основаны теоремы о равносильности уравнений.

3. Если к обеим частям уравнения прибавить одну и ту же функцию имеющую смысл при всех допустимых значениях переменного, то получится новое уравнение равносильное данному.

4. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

5. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одну и ту же функцию имеющую смысл для любого х из области определения, то получится новое уравнение или равносильное данному.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Решить уравнение:

Решение. Заметим предварительно, что при решении уравнения необходимо производить только такие операции, при которых каждое следующее уравнение было бы равносильно предыдущему

В противном случае может быть расширена область определения уравнения и получены посторонние корни или, наоборот, сужена область определения уравнения и могут быть потеряны корни.

1) Раскроем скобки в данном уравнении, получим:

Перенесем слагаемое — в левую часть уравнения (1), а слагаемое 24 в правую, изменив при этом их знаки:

Приведем подобные слагаемые в уравнении (2), получим:

Мы заменили последовательно одно уравнение другим, равносильным ему, получили линейное уравнение, в котором коэффициент при х отличен от нуля. Теперь разделим обе части уравнения (3) на этот коэффициент, тем самым найдем корень уравнения:

Число является корнем уравнения этом можно убедиться проверкой).

2) Корнями уравнения не могут быть числа в противном случае левая часть уравнения не имела бы смысла (на нуль делить нельзя).

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю, получим:

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю (знаменатель отличен от нуля), т. е. Так как то Откуда

3) Раскроем скобки, получим:

Перенесем слагаемое в левую часть уравнения (1), а слагаемое 5 в правую, изменив при этом их знаки, получим:

В этом случае исходное уравнение не имеет корней.

4) Уравнение сводится к уравнению

к уравнению , значит, любое число является его решением.

5) Упростим левую часть уравнения:

Записав данное уравнение в виде после приведения подобных членов получим уравнение

Корни уравнения Но корень не является корнем исходного уравнения при не имеет смысла).

Это произошло за счет того, что множество допустимых значений исходного уравнения не содержит а полученного содержит. Итак,

6) Имеем:

Итак, получаем ответ:

7) Имеем:

Так как не является корнем уравнения, то получаем ответ:

— любое действительное число.