§ 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим. Например, неравенства вида при являются ли арифмическими.

2. Неравенство равносильно системе и системе при .

3. При решении логарифмических неравенств следует учитывать общие свойства неравенств, свойство монотонности логарифмической функции и область ее определения.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Решить неравенство:

Решение. Выразив правую часть неравенства через логарифм, получим:

Это неравенство равносильно системе

первое неравенство которой характеризует область определения логарифмической функции, а второе — ее убывание при основании Далее имеем:

Решение последней системы приведено на рисунке 227. В результате получаем ответ:

Имеем;

Рис. 227

3) Так как то данное неравенство можно записать в виде

Полагая получим неравенство или откуда Возвращаясь к переменной х, получим

Итак, решением данного неравенства служит интервал

Имеем:

Ответ.

1. Перепишем неравенство в виде . Здесь нужно рассмотреть два случая: . В первом случае, освободившись от логарифмов, получим, что а во втором, что Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:

Для системы имеем:

т. е. ее решением служит интервал

Для системы имеем:

т. е. множество ее решений является пустым. Итак, решение данного неравенства.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)