§ 11. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Если эту формулу записать справа налево, то получим , т. е. разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы. Например,

Тождество (2) называют формулой квадрата суммы. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

Например,

Тождество (3) называют формулой квадрата разности. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

Например,

Если эту формулу записать справа налево, то, получим т. е. сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Примечание. Выражение напоминает нам трехчлен который равен квадрату разности х и у. Однако в данном выражении вместо удвоенного произведения х и у стоит просто их произведение. Именно поэтому выражение называют неполным квадратом разности. Например,

Если эту формулу записать справа налево, то получим , т. е. разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Например,

Выражение вида называют неполным квадратом суммы.

Приведем еще четыре формулы:

Тождество (6) называют кубом суммы.

Тождество (7) называют кубом разности.

9. Тождества (8) и (9) называют квадратом трехчлена.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Разложить на множители:

Решение. 1) Выражение в явной форме ни одно из семи тождеств не представляет, но число 16 можно представить в виде степени с основанием 4, т. е. Тогда выражение примет иной вид:

а это уже формула разности квадратов, и, применив эту формулу, получим:

2) Объединим в одну группу последние три члена, вынеся — 1 за скобки. Получим

так как можно разложить по формуле разности квадратов.

3) Это выражение в явной форме ни под одно тождество не подходит. Анализируя пример, видим, что в каждом слагаемом можно вынести общий множитель 6 за скобки. Получим:

Выражение в скобках представляет собой разложенный квадрат суммы двух выражений:

Теперь наше выражение примет вид:

4) Представим данный многочлен в виде разности кубов двух выражений и, применив формулу, получим:

Этот пример можно решить и вторым способом. Для этого представим данный многочлен в виде разности квадратов двух выражений, получим:

Теперь мы получили выражение, состоящее из двух сомножителей: разности кубов двух выражений и суммы кубов двух выражений. Первый из них разлагается на множители по формуле (5), а второй — по формуле (4):

5) Данный многочлен легко можно представить в виде суммы кубов двух выражений таким образом:

Применив формулу суммы кубов, получим:

2. Сравнить числа: 244 и 1821 2528.

Решение.

Следовательно, .

3. Найти значение выражения где

Решение

4. Доказать, что при любом натуральном 6 значение выражения делится на 12.

Решение. Воспользовавшись формулой упростим данное выражение:

Полученное выражение 126 делится на 12 без остатка.

5. Доказать, что значение выражения не зависит от переменной х.

Решение. Выполним указанные действия:

После преобразования данного выражения получили число 144, а это и означает, что выражение не зависит от переменной

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

1. Разложите на множители:

2. Докажите, что при любом натуральном значение выражения:

делится на 4;

делится на 8;

делится на 6.

3. Найдите значение дроби:

где — натуральное число.

4. Докажите, что данное равенство есть тождество:

5. В. Докажите, что сумма кубов трех последовательных целых чисел делится нацело на 3.

6. В. Докажите, что если , то .

7. Что больше: ?

Ответы. 1. А.