Главная > Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 11. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Если эту формулу записать справа налево, то получим , т. е. разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы. Например,

Тождество (2) называют формулой квадрата суммы. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

Например,

Тождество (3) называют формулой квадрата разности. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

Например,

Если эту формулу записать справа налево, то, получим т. е. сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Примечание. Выражение напоминает нам трехчлен который равен квадрату разности х и у. Однако в данном выражении вместо удвоенного произведения х и у стоит просто их произведение. Именно поэтому выражение называют неполным квадратом разности. Например,

Если эту формулу записать справа налево, то получим , т. е. разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Например,

Выражение вида называют неполным квадратом суммы.

Приведем еще четыре формулы:

Тождество (6) называют кубом суммы.

Тождество (7) называют кубом разности.

9. Тождества (8) и (9) называют квадратом трехчлена.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Разложить на множители:

Решение. 1) Выражение в явной форме ни одно из семи тождеств не представляет, но число 16 можно представить в виде степени с основанием 4, т. е. Тогда выражение примет иной вид:

а это уже формула разности квадратов, и, применив эту формулу, получим:

2) Объединим в одну группу последние три члена, вынеся — 1 за скобки. Получим

так как можно разложить по формуле разности квадратов.

3) Это выражение в явной форме ни под одно тождество не подходит. Анализируя пример, видим, что в каждом слагаемом можно вынести общий множитель 6 за скобки. Получим:

Выражение в скобках представляет собой разложенный квадрат суммы двух выражений:

Теперь наше выражение примет вид:

4) Представим данный многочлен в виде разности кубов двух выражений и, применив формулу, получим:

Этот пример можно решить и вторым способом. Для этого представим данный многочлен в виде разности квадратов двух выражений, получим:

Теперь мы получили выражение, состоящее из двух сомножителей: разности кубов двух выражений и суммы кубов двух выражений. Первый из них разлагается на множители по формуле (5), а второй — по формуле (4):

5) Данный многочлен легко можно представить в виде суммы кубов двух выражений таким образом:

Применив формулу суммы кубов, получим:

2. Сравнить числа: 244 и 1821 2528.

Решение.

Следовательно, .

3. Найти значение выражения где

Решение

4. Доказать, что при любом натуральном 6 значение выражения делится на 12.

Решение. Воспользовавшись формулой упростим данное выражение:

Полученное выражение 126 делится на 12 без остатка.

5. Доказать, что значение выражения не зависит от переменной х.

Решение. Выполним указанные действия:

После преобразования данного выражения получили число 144, а это и означает, что выражение не зависит от переменной

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

1. Разложите на множители:

2. Докажите, что при любом натуральном значение выражения:

делится на 4;

делится на 8;

делится на 6.

3. Найдите значение дроби:

где натуральное число.

4. Докажите, что данное равенство есть тождество:

5. В. Докажите, что сумма кубов трех последовательных целых чисел делится нацело на 3.

6. В. Докажите, что если , то .

7. Что больше: ?

Ответы. 1. А.

1
Оглавление
email@scask.ru