§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Функция называется непрерывной в точке если она определена в некоторой окрестности этой точки и если предел функции при равен значению функции в этой точке, т. е.

2. Функция непрерывная в каждой точке заданного промежутка, называется непрерывной на всем промежутке.

Рис. 179

3. Любая рациональная функция непрерывна при всех значениях независимой переменной, при которых она определена. Любая иррациональная функция непрерывна в любой точке области определения, кроме крайних точек, если они существуют.

Например, функция непрерывна в любой точке числовой прямой, а функция непрерывна в любой точке

4. Если функция, определенная в некоторой окрестности точки в точке не определена или ее предел в точке не равен значению функции в этой точке, то говорят, что функция имеет разрыв в точке а точку называют точкой разрыва.

Например, функция непрерывна в любой точке а в точке терпит разрыв.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Дана функция

Найти точку разрыва и значение функции в этой точке.

Решение. Функция терпит разрыв в точке так как при предел этой функции не существует (рис. 179). Значение функции при равно

2. Вычислить предел

Решение. Здесь при и числитель, и знаменатель обращаются в нуль, значит, применить теорему о пределе частного нельзя. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю:

Функция определена в точке , значит, непрерывна в этой точке. Поэтому ее предел при равен

значению функции при . В результате получаем

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ