§ 2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным. Простейшим примером показательного уравнения служит уравнение Это уравнение можно решить графически (рис. 213).

2) Решение показательного уравнения вида основано на том, что это уравнение равносильно уравнению

3. Уравнение вида с помощью подстановки сводится к квадратному уравнению

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Решить уравнение:

Решение. 1) Представив как 3 7, получим т. е. левая и правая части уравнения приведены к одному основанию. Следовательно, данное уравнение равносильно квадратному уравнению откуда

2) Представим как и положим Тогда данное уравнение примет вид:

3) Положим Тогда и данное уравнение примет вид Корни этого уравнения:

Рис. 213

Следовательно, Итак, получаем ответ: 0; 1.

4) Разделив обе части уравнения на получим:

Положим тогда имеем:

Следовательно,

Ответ.

5) Выражение в левой части уравнения представляет собой функцию, содержащую переменную как в основании, так и в показателе степени. Для решения такого показательно-степенного уравнения нужно рассмотреть три случая: когда основание степени равно 1, 0 и когда отлично от указанных значений.

Если то получаем — верное равенство; значит, — корень уравнения.

Если то в левой части уравнения получаем а в правой — выражение, не имеющее смысла. Поэтому не является корнем уравнения.

Наконец, приравняв показатели, имеем откуда При этих значениях х получим соответственно — верные равенства, т. е. — корни уравнения.

Итак, получаем ответ: —2; —1; 3.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)