§ 2. ПОНЯТИЕ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Если из истинности высказывания А следует истинность высказывания В, то употребляется знак логического следования 
2. Если 
то такие высказывания (предложения) называются равносильными. Это записывают так: А о В.
3. Аналогично два уравнения называются равносильными (или эквивалентными) на данном числовом множестве, если каждое решение (корень) одного уравнения является решением (корнем) другого и наоборот.
4. Заметим, что если оба уравнения не имеют решений на данном числовом множестве, то они также считаются равносильными на этом множестве.
5. Очевидно, что равносильные уравнения имеют одно и то же множество решений, принадлежащих области определения этих уравнений. Например, уравнения 
равносильны, они имеют корни: 
6. Уравнения 
равносильны на множестве действительных чисел, так как множество решений каждого из них пустое.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Равносильны ли уравнения:
Решение. 1) Уравнения 
равносильны; оба имеют единственный корень 
2) Уравнения 
неравносильны: число 
является корнем первого уравнения, но не удовлетворяет второму уравнению, так как при 
левая и правая части второго уравнения не определены.
3) Число 
является корнем первого уравнения и корнем кратности 3 второго уравнения.
Замечание. Если среди корней имеются совпадающие, то говорят, что у многочлена есть кратные корни. Поэтому эти два уравнения, имеющие одни и те же корни (без учета кратности), считаются равносильными.
4) Уравнения 
неравносильны: первое из них имеет единственный корень 
а второе, кроме корня 
имеет еще корень 
, который не служит решением первого уравнения.
