§ 3. СИНУС И КОСИНУС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Рассмотрим единичную окружность, т. е. окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (рис. 98). На единичной окружности отметим точку . При повороте начального радиуса около центра О на угол а радиан точка перейдет в некоторую точку Обозначим координаты этой точки (Заметим, что поворот можно осуществить как в положительном, так и в отрицательном направлении.)

2. Определения:

а) Синусом угла а называется отношение ординаты точки к радиусу. Таким образом,

б) Косинусом угла а называется отношение абсциссы точки к радиусу. Таким образом,

3. Каждому углу а соответствует единственная точка , следовательно, единственное значение синуса и косинуса этого числа. Таким образом, а являются функциями числового аргумента. (Заметим, что в курсе геометрии мы рассматривали а как функции угловой величины а, а не числа а.)

4. Основное соотношение между а. Координаты любой точки единичной окружности удовлетворяют уравнению: (это следует из прямоугольного треугольника, катеты которого , а гипотенуза равна 1; см. рис. 98). Отсюда где

Из этой формулы следует, что: а)

5. Значения синуса и косинуса некоторых чисел. В практических вычислениях часто используются значения синуса и косинуса, приведенные в таблице:

6. Знаки значений функций синуса и косинуса. Знаки а определяются знаками ординаты и абсциссы соответствующей точки единичной окружности. Если в первой координатной четверти), то числу а соответствует точка окружности координаты которой Следовательно, на числовом промежутке Если во второй координатной четверти), то, рассуждая аналогично, получаем (рис. 100), Если в третьей координатной

Рис. 101

Рис. 102

Рис. 103

четверти), то имеем (рис. 101). Если в четвертой координатной четверти), то (рис. 102). Схематически знаки изображены на рисунке 103, а, а на рисунке 103, б.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Определить знак произведения

Решение, так как угол 67° является углом первой четверти, а синус в первой четверти положителен.

так как угол 267° является углом третьей чет верти, а косинус в этой четверти отрицателен

так как угол 375° является углом первой четверти, а косинус в этой четверти положителен.

так как угол —68° является углом четвертой четверти, а синус в этой четверти отрицателен.

так как угол —68° является углом четвертой четверти, а косинус в этой четверти положителен.

так как угол, величина которого 2 радиана, является углом второй четверти, а синус во второй четверти положителен. Следовательно, произведение положительно.

2. Сравнить значения выражений:

Решение,

Ответ.

3. Доказать тождество

Доказательство. В левой части тождества произведем указанные действия и приведем подобные члены, получим:

Левую часть равенства преобразуем так:

Следовательно, Тождество доказано.

4. Вычислить значение , если где

Решение. Найдем значение косинуса, используя формулу Имеем

Выясним, какой знак надо оставить перед корнем. По условию принадлежит III четверти, а косинус в этой четверти отрицателен. Следовательно, перед корнем надо оставить знак «минус». Итак,

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)