§ 7. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. При решении систем тригонометрических уравнений последние сводят либо к одному уравнению с одним неизвестным, либо к системе уравнений относительно самих аргументов или функций этих аргументов.
2. Рассмотрим лишь некоторые типы систем тригонометрических уравнений и наиболее употребительные методы их решения.
3. Решим систему вида
Решение. Складывая и вычитая уравнения системы (1), получаем равносильную систему
Система (2), а значит, и система (1) имеют решения в том и только в том случае, когда выполняются условия 
Если эти условия выполнены, то
где 
любые целые числа, а знаки выбираются произвольно. Пусть 
Таким образом, формулы (3) определяют четыре серии решений:
Решая эти системы, находим:
4. Аналогично решается система вида.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решить систему уравнений:
Решение.
Складывая и вычитая уравнения системы (1), получаем равносильную систему
Решая систему (2), получаем:
Складывая уравнения системы (3), получаем 
Вычитая из первого уравнения системы (3) второе, получаем 
или 
Ответ. 
Из первого уравнения системы (1) находим 
Тогда второе уравнение системы примет вид:
Упростим правую часть уравнения (2):
Таким образом, уравнение (2) примет вид 
откуда 
Так как 
Ответ. 
Область определения системы (1):
Применяя способ подстановки, получаем:
Решая второе уравнение системы (2), имеем:
В результате упрощений получаем:
Теперь систему (2) заменим двумя системами:
Решение первой системы: 
Решение второй системы: 
Ответ. 
Область определения системы: 
Разделив почленно первое уравнение системы (1) на второе, получим уравнение
Заменив второе уравнение системы (1) уравнением (2), получим систему
равносильную системе (1).
Складывая и вычитая уравнения системы (3), получаем равносильную систему
Из первого уравнения системы (5) находим 
Второе уравнение системы (5) равносильно двум уравнениям
Таким образом, система (5) равносильна двум системам:
Ответ. 
Используем формулы
Тогда система (1) равносильна системе
Так как 
то имеем:
Решая систему уравнений (4), находим:
и поэтому
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
(см. скан)
