6.3.3. Установившееся распределение при наличии ограничений

Рассмотрим следящий измеритель типа рис. 6.1. Выходное напряжение дискриминатора в случае наличия только быстрых флюктуаций согласно § 6.2 может быть записано в виде

где дискриминационная и флюктуационная характеристики соответственно; белый шум единичной спектральной плотности.

Анализ интересующих нас явлений можно довести до конца в случае сглаживающих цепей в виде одиночного интегратора, когда

Учитывая, что по соотношениям (6.3.15),

(6.3.16) находим дифференциальное уравнение, измеритель в целом:

где - скорость изменения измеряемой величины.

Будем считать и введем эквивалентные дискриминационную аэкв и флюктуационную характеристики согласно равенствам

Тогда (6.3.17) перепишется в виде

где величина динамической ошибки в линеаризованной системе (см. § 6.2).

Согласно результатам п. 6.3.1 соответствующее диффузионное уравнение запишется в виде

Следовательно, коэффициент сноса в следящих измерителях определяется дискриминационной, а коэффициент диффузии — флюктуационной характеристиками.

Установившееся решение, если оно существует, определяется соотношением (6.3.10). При наличии

ограничений в точках его следует нормировать в этих пределах, так что

Ограничиваясь случаем постоянной флюктуационной характеристики что является хорошим приближением при больших шумах, вместо (6.3.21) имеем

где

— дисперсия флюктуационной ошибки измерения в линеаризованной системе.

Дальнейшая конкретизация решения требует задания аппроксимации для Пусть

где по-прежнему полуширина селектируемой области.

Тогда

где безразмерная величина, пропорциональная квадрату отношения ширины селектируемой области к среднеквадратической ошибке в линеаризованной системе.

Для дисперсии ошибки, учитывающей явления срыва и возвращения, получаем по (6.3.23) общее выражение

В частности, при очень больших шумах, когда и вероятность срыва велика,

Согласно (6.3.25) при т. е. дисперсия соответствует равномерному распределению по отрезку

В обратном случае, когда 1 (вероятность срыва мала),

При из (6.3.26) следует

т. е. срыв практически не происходит, и линейного приближения при анализе вполне достаточно. Отношение при котором происходит нарастание вероятности срыва, легко может быть определено по графику рис. 6.6, где отложено отношение в функции от Явление срыва наступает приблизительно при Здесь начинает резко нарастать и быстро стабилизируется около уровня, определяющегося ограничением. Поскольку отношение при котором резко нарастает вероятность срыва, мало зависит от можно утверждать, что срыв является пороговым явлением, начинающимся в случае превышения некоторого критического значения, когда флюктуационная ошибка составляет около 0,1 полуширины селектируемой области.

Так как при таком установившемся распределении и отношениях несколько меньших критического, подразумевается очень большое время наблюдения, то оценка этого критического значения по приведенной выше методике будет несколько занижена, в чем мы убедимся в следующем пункте. Фактором, действующим в противоположную сторону, является наличие динамической ошибки, которую в рассмотренном примере мы отбросили. Увеличивающаяся вероятность срыва здесь объясняется сокращением расстояния до края дискриминационной характеристики, где прекращается возвращающее действие дискриминатора.