§ 6.7. СИНТЕЗ ДИСКРИМИНАТОРОВ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ СИГНАЛОВ

Полученные в § 6.6 результаты показывают, что в качестве основного элемента оптимальные измерители включают дискриминаторы, которые образуют величину являющуюся мерой рассогласования между истинным и измеренным значениями параметра. Там же была введена основная характеристика дискриминатора Конкретно обе функции определяются статистикой смеси сигнала с шумом на входе и способом кодирования в ней параметра Однако можно выявить и некоторые общие правила, позволяющие быстро находить операции дискриминатора и его характеристики в наиболее интересных случаях. В настоящем параграфе будут рассмотрены различные виды операций дискриминатора и выяснены характеристики их точности. В основу классификации в отличие от последующих глав здесь закладывается вид статистики точнее полезной его компоненты, зависящей от параметра Отдельно рассматриваются случаи регулярных сигналов, сигналов со случайными фазами, гауссовых сигналов и т. п. При этом всегда имеется в виду непрерывное наблюдение, когда функционал правдоподобия, операции дискриминатора и его характеристики выражаются соответственно формулами (6.6.35) -(6.6.37) и (6.6.44) -(6.6.46).

6.7.1. Регулярные сигналы в гауссовых шумах

Для простоты вначале рассмотрим случай одного сигнала принимаемого на фоне белого шума со спектральной плотностью

Рис. 6.23. Дискриминатор для регулярного сигнала в белом шуме.

Логарифм функционала правдоподобия на элементарном отрезке наблюдения имеет здесь вид

где С — константа, не зависящая ни от реализации ни от измеряемого параметра

Сопоставлением (6.7.1) и (6.6.35) убеждаемся, что

откуда по (6.6.36) имеем

Формула (6.7.3) иллюстрируется рис. 6.23. Для образования необходимо вычесть из реализации функцию, описывающую регулярный сигнал с измеренным значением параметра и умножить результат на производную от этой функции по параметру, тоже взятую при оценочном значении При рассогласовании

и вычитание регулярной части смеси будет неполным и остаток, коррелируя с даст на выходе величину, пропорциональную Как видим, операция дискриминатора получилась здесь чисто безынерционной и даже линейной относительно входного сигнала (но не относительно разности По (6.6.37) легко убедиться, что характеристика точности дискриминатора равна

Если при фиксированном является периодической функцией, то дискретным сигналом на выходе дискриминатора согласно (6.6.45) можно считать функцию (6.7.3), проинтегрированную по периоду повторения

При этом в соотношении (6.7.4) нет необходимости осуществлять предельный переход, достаточно, чтобы охватывало целое число периодов

Согласно (6.7.4) и (6.7.6) точность дискриминатора определяется отношением среднего значения квадрата производной регулярного сигнала по параметру к спектральной плотности белого шума. Этот результат хорошо известен [19].

Если обобщить теперь (6.7.1) для нескольких входных сигналов состоящих из регулярных сигналов и в общем случае

коррелированных друг с другом белых шумов так что

то можно получить функцию

где введены вектор-столбцы и матрица обратная

Рис. 6.24. Дискриминатор для набора регулярных сигналов в белом шуме.

Отсюда

Видоизменение (6.7.7) при периодическом очевидно. Согласно рис. 6.24, иллюстрирующему соотношение (6.7.7), из каждой входной смеси вычитается соответствующий регулярный сигнал при а затем

результаты умножаются на линейные комбинации производных по параметру всех регулярных сигналов и складываются. При некоррелированных между собой шумах матрицы диагональны и дискриминатор согласно (6.7.7) состоит из независимых каналов, подобных рис. 6.23, которые суммируются с весами, обратно пропорциональными интенсивностям шумов.

Точностная характеристика дискриминатора для рассматриваемого случая характеризуется формулой

и тоже выражается через средние значения от производных отдельных сигналов по параметру.

Теперь обратимся к более сложному случаю коррелированных гауссовых шумов. Полагая входную смесь единственной, имеем

где функция, обратная на интервале к функции корреляции шума т. е. удовлетворяющая уравнению

Подразумевается, что А превышает интервал корреляции помехи (см. § 6.6).

Возможно несколько переходов от (6.7.9) к операции дискриминатора. Вопросов физической реализуемости получающихся схем легко избежать, если, пользуясь симметрией подынтегрального выражения в (6.7.9) но аргументам произвести интегрирование не по квадрату а по треугольнику

а затем удвоить результат:

Рис. 6.25. Дискриминатор для регулярного сигнала в коррелированном шуме (1-й вариант). линейные фильтры с импульсными реакциями

Тогда дифференцирование по и отбрасывание внешнего интеграла дает операцию дискриминатора

Поскольку интервал наблюдения превышает интервал корреляции помех, мы устремили нижний предел Операции, производимые согласно (6.7.10), иллюстрируются рис. 6.25. Из реализации на входе, как и выше, вычитается ожидаемый вид сигнала, далее разность пропускается через линейный фильтр с импульсной реакцией и умножается на производную от ожидаемого вида сигнала по К. Дополнительно эта производная пропускается через такой же фильтр и

умножается на разность Оба результата обработки складываются, образуя сигнал на выходе дискриминатора. При таком методе не делается никаких приближений при переходе к

Рис. 6.26. Дискриминатор для регулярного сигнала в коррелированном шуме (2-й вариант): линейный фильтр с импульсной реакцией .

Другим, более простым в формальном отношении, методом перехода от (6.7.9) к операции дискриминатора является дифференцирование по X непосредственно (6.7.9), что с учетом симметрии аргументов дает

и отбрасывание одного из интегралов. В зависимости от того, по какому аргументу будет отброшен интеграл в (6.7.11), можно получить различные, но статистически эквивалентные выражения для операции дискриминатора:

или

где пределы интегрирования расширены до поуже объясненным причинам.

Операции (6.7.12) и (6.7.13) осуществляются по схемам рис. 6.26, 6.27 соответственно, которые повторяют два канала схемы рис. 6.25, за исключением отличий

в свойствах линейных фильтров, возникающих из-за бесконечных пределов интегрирования. Во всех случаях фильтрация с весовой функцией имеет режекторные по отношению к помехе свойства, осуществляя подавление наиболее интенсивной части спектра помехи.

Рис. 6.27. Дискриминатор для регулярного сигнала в коррелированном шуме (3-й вариант). линейный фильтр с импульсной реакцией

Поясним это обстоятельство подробнее, рассматривая периодический сигнал с периодом большим интервала корреляции помехи. Если считать помеху стационарной то следует искать тоже в виде откуда, устремляя пределы интегрирования в (6.7.9) к имеем преобразование Фурье от обратной функции в виде

где - спектральная плотность помехи.

Операцию дискриминатора в случае периодического сигнала будет давать непосредственно соотношение (6.7.11), где пределы охватывают период повторения. Отсюда, переходя к изображениям Фурье и используя (6.7.14), имеем

где преобразования Фурье функций периоде сигнала. Согласно (6.7.15) в тех участках спектра, где помеха интенсивнее, уменьшается коэффициент передачи линейного фильтра, включенного в схему. Это и объясняет его режекториые свойства.

Блок-схема дискриминатора для этого случая приведена на рис. 6.28.

Остается выяснить вопрос о физической реализуемости операций (6.7.12), (6.7.13) и (6.7.15), которая ставится под сомнение бесконечными верхними пределами интегрирования в (6.7.12) и (6.7.13) или, что то же самое, наличием в (6.7.15) функции оригинал Фурье которой симметричен относительно нуля времени. Положение облегчается тем, что интервал корреляции помехи обычно значительно меньше интервала заметного изменения сигнальной функции

Рис. 6.28. Дискриминатор для импульсного регулярного сигнала в коррелированном шуме: -линейный фильтр с частотной характеристикой интегратор по периоду.

В этих условиях можно заменить оригинал Фурье на функцию, полученную из нее сдвигом на величину, несколько большую интервала корреляции помехи, и после этого отсечь небольшой остаток при отрицательном времени. Тогда будет получен сигнал на выходе дискриминатора, статистически эквивалентный оптимальному. В этом легко убедиться, вычисляя среднее значение или спектральную плотность сигнала на выходе. Последняя величина характеризует точность измерения при наличии коррелированных помех и равна

где в случае периодического сигнала следует отбросить знак предела, а приравнять периоду повторения

Хотя в дальнейших главах случай регулярного сигнала рассматриваться не будет, результаты настоящего пункта помогут уяснить некоторые закономерности построения оптимальных схем в более сложных и более интересных для практики случаях.