9.5.3. Сглаживающие цепи с переменными параметрами

Во многих случаях закон изменения скорости достаточно аппроксимировать функцией заданного вида, но зависящей от некоторого числа неизвестных параметров. При этом достаточно часто выполняются условия, при которых справедлива аппроксимация (6.8.42), и измеряемая скорость представляется в виде

где математическое ожидание закона изменения скорости; заданные функции; нормально распределенные случайные величины

Как показано в гл. 6, оптимальные сглаживающие цепи в подобных случаях обладают переменными параметрами, а их импульсные реакции в однопетлевом варианте и ошибки измерения определяются соответственно выражениями (6.8.53) и (6.8.54). В силу того, что в эти выражения входит крутизна дискриминатора параметры сглаживающих цепей зависят от отношения сигнал/шум.

При

Полагая имеем для импульсной реакции сглаживающей цепи согласно

и для ошибки измерения

Рассмотрим следующие примеры. 1. После захвата цели радиолокатор должен перейти на автоматическое ее сопровождение. Пусть после захвата существует некоторая первоначальная ошибка настройки по частоте, а следовательно, и измерения скорости. Допустим также, что скорость изменяется по закону, известному с точностью до этой первоначальной ошибки (например, скорость постоянна за время измерения). Тогда — дисперсия первоначальной ошибки измерения скорости. Полагая получаем

Сглаживающая цепь состоит из усилителя с переменным коэффициентом усиления - и интегратора. Дисперсия ошибки падает во времени при больших временах наблюдения как 1 Физических объяснений смысла оптимальности сглаживающих цепей мы в данном и последующих примерах приводить не будем, так как этот вопрос в общем виде рассмотрен в гл. 6.

При применении оптимального частотного дискриминатора с крутизной, определяемой (9.5.29), ошибка измерения скорости определяется как

где

Для рассмотренного уже неоднократно примера см, гц на рис. 9.20 построены кривые при трех значениях и при значениях первоначальной ошибки измерения скорости, соответствующих расстройкам в 40; 20 и 10 гц.

Рис. 9.20. Зависимость ошибки измерения скорости Овых от времени для примера оптимального измерителя при гц.

В данном примере ошибка довольно быстро убывает, уменьшаясь в несколько раз за сотые доли секунды.

2. Пусть ускорение объекта, скорость которого измеряется радиолокатором, постоянно на некотором этапе наблюдения. Из-за разброса тяги двигателей может быть известным лишь среднее значение ускорения и величина разброса ускорения около этого среднего. При

этом и по (9.5.41), (9.5.42) при имеем

где дисперсия ускорения.

Оптимальная сглаживающая цепь состоит здесь из последовательно соединенных усилителя с коэффициентом усиления, изменяющимся во времени по закону интегратора и усилителя с коэффициентом усиления, изменяющимся как Ошибка измерения вначале возрастает как а при большом времени наблюдения падает как . В момент

ошибка принимает максимальное значение, равное

и в прежних предположениях относительно частотного дискриминатора определяется по формуле

Для случая на рис. 9.21 построены кривые зависимости от при трех среднеквадратических значениях ускорения. Оказывается, что среднеквадратическая ошибка измерения скорости в данной оптимальной системе в широком диапазоне ускорений и отношений сигнал/шум составляет величины, в частотном выражении соответствующие лишь части ширины спектра сигнала.

Рис. 9.21. Зависимость максимальной ошибки измерения скорости О в от отношения сигнал/шум для примера оптимального измерителя при

3. Если целью является тело, быстро движущееся и подвергающееся малому торможению в атмосфере, то при соблюдении некоторых малоограничительных условий можно считать, что

Считая по-прежнему согласно (9.5.41) и (9.5.42) получим

Сглаживающая цепь состоит из последовательно соединенных усилителя с переменным усилением

интегратора и усилителя с усилением

При больших временах наблюдения

а импульсная реакция замкнутого следящего измерителя

При этом дисперсия ошибки измерения скорости

Таким образом, если интересоваться ошибкой при больших временах наблюдения, оптимальный следящий измеритель обладает постоянными параметрами и эквивалентен инерционному звену -цепи) с постоянной времени Дисперсия ошибки измерителя равна при этом чем и определяется вид ее зависимости от отношения сигнал/шум Нужно заметить, что для реализации оптимального измерителя, обладающего указанными свойствами, необходимо в сглаживающей цепи иметь усилитель, коэффициент усиления которого пропорционален Если в предыдущих примерах оптимальный коэффициент усиления разомкнутой цепи уменьшался с уменьшением и с какой-то степенью точности это изменение воспроизводилось системой АРУ, то в данном случае при наличии системы АРУ необходимо компенсировать ее нормирующее действие с тем, чтобы результирующий коэффициент усиления оставался неизменным.

Радиальная составляющая скорости объекта, измеряемая допплеровским измерителем скорости, во многих случаях содержит как составляющие заданного вида, но зависящие от случайных параметров, так и чисто случайные составляющие. Вид оптимальных для подобных случаев сглаживающих цепей уже обсуждался в гл. 6. В двупетлевом варианте они содержат два

нала. Один из этих каналов предназначен в основном для выработки составляющей закона изменения измеряемой величины, которая имеет заданный вид, с учетом нахождения истинных значений ее параметров. Другой канал предназначен в основном для отслеживания чисто случайной части измеряемой величины. Возможны, однако, и другие способы реализации сглаживающих цепей. С одним из них познакомимся на следующем примере.

Найдем оптимальные сглаживающие цепи и соответствующую потенциальную точность измерителя скорости в случае, когда скорость

известное математическое ожидание скорости; случайная нормально распределенная величина винеровский процесс с дисперсией

Тогда, составляя функцию корреляции процесса подставляя ее в уравнения (6.6.53) и (6.6.54) и решая их, для импульсной реакции сглаживающих цепей получаем

В связи с тем, что оказывается равным произведению некоторой функции переменной на функцию переменной сглаживающие цепи в однопетлевом варианте следящего измерителя (рис. 9.22) содержат соединенные последовательно:

усилитель с переменным усилением

интегратор и усилитель с переменным усилением

где

Рис. 9.22. Схема оптимального измерителя скорости при 1 — дискриминатор; 2 - усилитель с коэффициентом усиления ; 3 - интегратор; 4 — усилитель с коэффициентом усиления генератор закона изменения сумматор.

При малых временах наблюдения коэффициенты усиления усилителей, изображенных на рис. 9.22, изменяются как

При больших временах наблюдения

так что сглаживающая цепь содержит лишь интегратор с коэффициентом усиления Легко найти, что

при промежуточных значениях коэффициент усиления имеет максимум при значении определяемом с помощью уравнения

имеет минимум при определяемом из уравнения

Законы изменения коэффициентов усиления усилителей показаны на рис. 9.23.

Рис. 9.23. Вид законов изменения коэффициентов усиления и

Вычисляя с помощью (6.6.48) дисперсию ошибки рассматриваемого оптимального измерителя, получаем

При эта дисперсия принимает значение

Входящая в формулы величина является отношением о к дисперсии линейного слагаемого в (9.5.54) через интервал времени (с момента

начала наблюдения) равный времени установления. в схеме, рассчитанной только на винеровский процесс.

На рис. 9.24 по (9.5.58) построены кривые зависимости от времени при различных значениях параметра Пунктиром показаны асимптотическое значение и геометрическое место максимальных значений.

Рис. 9.24. Зависимость дисперсии ошибки от времени для примера измерителя скорости, определяемой как

Зависимость от отношения сигнал/шум легко найти, задаваясь , например, в виде (9.5.29). Для при этом справедливы результаты, полученные выше для оптимального измерителя в случае скорости — винеровского процесса.